Usando o método das transformadas de Laplace, resolva os problemas de valor inicial:
y^prime prime+4 y^prime-5 y=t e^t ; y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' - 5y = t,e^t,
com condições y(0)=1 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
Ly'=sY(s)-y(0), Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
e da transformada de t e^t.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados de
y'' + 4y' - 5y = t,e^t
obtemos
(s^2Y - scdot1 - 0) +4(sY - 1) -5Y = 1(s-1)^2
Reagrupando em Y(s),
(s^2+4s-5)Y(s) - s -4 = 1(s-1)^2

Passo 3

Isolando Y(s),
Y(s)=1(s-1)^2+s+4(s+5)(s-1)
Separemos em dois termos:
Y(s)=1(s-1)^2,(s+5);+;s+4(s-1)(s+5)

Passo 4

Para s+4(s-1)(s+5) fazemos frações parciais
s+4(s-1)(s+5)=As-1+Bs+5
Resolviendo A(s+5)+B(s-1)=s+4 A=tfrac56 e B=tfrac16. Logo
s+4(s-1)(s+5)=5/6s-1+1/6s+5

Passo 5

Para 1(s-1)^2(s+5) fazemos
1(s-1)^2(s+5)=As-1+B(s-1)^2+Cs+5
Igualando numeradores resulta
A=-tfrac136, B=tfrac16, C=tfrac136
Assim
1(s-1)^2(s+5) =-1/36s-1+1/6(s-1)^2+1/36s+5

Passo 6

Agora aplicamos inversa de Laplace termo a termo. Sabendo que
L^-1tfrac1s-1=e^t, L^-1tfrac1(s-1)^2=t,e^t, L^-1tfrac1s+5=e^-5t,
obtemos
L^-1tfracs+4(s-1)(s+5) =tfrac56e^t+tfrac16e^-5t,
L^-1tfrac1(s-1)^2(s+5) =-tfrac136e^t+tfrac16,t,e^t+tfrac136e^-5t

Passo 7

Somando os resultados,
y(t) =l(tfrac56e^t+tfrac16e^-5tr) +l(-tfrac136e^t+tfrac16t,e^t+tfrac136e^-5tr)
Agrupando termos iguais,
y(t) =tfrac16,t,e^t +l(tfrac56-tfrac136r)e^t +l(tfrac16+tfrac136r)e^-5t =tfrac16t,e^t+tfrac2936e^t+tfrac736e^-5t

Resposta

y(t)=16,t,e^t+2936,e^t+736,e^-5t

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