[20 pontos] Considere a e.d.o. , para .
(a) Mostre que é uma solução da equação diferencial.
(b) Encontre uma segunda solução linearmente independente com a anterior [ Dica: Propor como solução , substituir na equação diferencial e resolver para achar .
(c) Use o Wronskiano para mostrar que e formam um conjunto fundamental de soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
definida para . O conteúdo envolve solução de ED lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, uso de redução de ordem para encontrar uma segunda solução e verificação de independência linear via Wronskiano. Vamos: (i) checar que é solução; (ii) usar para obter ; (iii) calcular o Wronskiano de e e mostrar que não se anula em .
Passo 2
Para mostrar que é solução, calculamos
Substituindo na equação original:
Logo satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Para achar por redução de ordem, primeiro escrevemos a ED na forma padrão
dividindo tudo por :
logo . Propomos
A técnica padrão leva à fórmula
Aqui .
Passo 4
Substituindo em
Como constante multiplicativa não afeta independência, tomamos
Passo 5
Calculamos o Wronskiano
Para x>0 tem-se W(x)=-4xneq0, logo y1 e y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.]
Resposta
y1(x)=x^3, y2(x)=x^-1, e o Wronskiano W(x)=-4xneq0 em x>0.