[20 pontos] Considere a e.d.o. x^2 y^prime prime(x)-x y^prime(x)-3 y(x)=0, para x>0.
(a) Mostre que y1(x)=x^3 é uma solução da equação diferencial.
(b) Encontre uma segunda solução y2(x) linearmente independente com a anterior [ Dica: Propor como solução y2(x)=u(x) y1(x), substituir na equação diferencial e resolver para achar u(x)].
(c) Use o Wronskiano para mostrar que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
x^2y''(x)-x,y'(x)-3,y(x)=0,
definida para x>0. O conteúdo envolve solução de ED lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, uso de redução de ordem para encontrar uma segunda solução e verificação de independência linear via Wronskiano. Vamos: (i) checar que y1(x)=x^3 é solução; (ii) usar y2(x)=u(x),y1(x) para obter y2; (iii) calcular o Wronskiano de y1 e y2 e mostrar que não se anula em x>0.

Passo 2

Para mostrar que ,y1(x)=x^3 é solução, calculamos
y1'(x)=3x^2, y1''(x)=6x
Substituindo na equação original:
x^2cdot(6x)-xcdot(3x^2)-3cdot(x^3) =6x^3-3x^3-3x^3=0
Logo ,y1(x)=x^3 satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Para achar y2 por redução de ordem, primeiro escrevemos a ED na forma padrão
y''(x)+p(x),y'(x)+q(x),y(x)=0,
dividindo tudo por x^2:
y''(x)-1xy'(x)-3x^2y(x)=0,
logo p(x)=-tfrac1x. Propomos
y2(x)=u(x),y1(x)=u(x),x^3
A técnica padrão leva à fórmula
y2(x)=y1(x)integral expl(-integral p(x),dxr)[y1(x)]^2,dx
Aqui expl(-integral p(x),dxr)=expl(-integral -tfrac1x,dxr)=exp(ln x)=x.

Passo 4

Substituindo em
y2(x)=x^3integral x(x^3)^2,dx =x^3integral x^-5,dx =x^3l(-tfrac14x^-4r) =-tfrac14x^-1
Como constante multiplicativa não afeta independência, tomamos
y2(x)=x^-1

Passo 5

Calculamos o Wronskiano
W(x)= y1(x) & y2(x)[6pt] y1'(x) & y2'(x) = x^3 & x^-1[3pt] 3x^2 & -x^-2 =x^3,(-x^-2)-x^-1,(3x^2) =-x-3x=-4x
Para x>0 tem-se W(x)=-4xneq0, logo y1 e y2 são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções.]

Resposta

y1(x)=x^3, y2(x)=x^-1, e o Wronskiano W(x)=-4xneq0 em x>0.

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