[20 pontos] Encontre o intervalo de convergência da série ( lembre de Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos).
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série
Aqui o conteúdo é série de potências em torno de . Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar a convergência nos extremos.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, consideramos
Pelo teste, a série converge se L<1, ou seja, se
|x-24|<1
Passo 3
Da desigualdade l|x-2r|<4 obtemos
-4< x-2<4 Longrightarrow -2< x<6
Assim, o intervalo aberto de convergência é (-2,6). Faltam agora os extremos x=-2 e x=6.
Passo 4
Verificamos x=-2:
x-2 = -4 Longrightarrow (x-2)^n4^n = l(-1r)^n
Os termos não tendem a zero, logo a série diverge em x=-2.
Verificamos x=6:
x-2 = 4 Longrightarrow (x-2)^n4^n = 1^n = 1
Novamente os termos não tendem a zero, logo a série diverge em x=6.