[20 pontos] Encontre o intervalo de convergência da série sumn=0^infty (x-2)^n4^n ( lembre de Verificar a convergência, ou não, nos extremos dos intervalos).

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty (x-2)^n4^n
Aqui o conteúdo é série de potências em torno de x0=2. Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois verificar a convergência nos extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, consideramos
L = limntoinfty |(x-2)^n+1/4^n+1(x-2)^n/4^n| = limntoinfty |x-24| = |x-24|
Pelo teste, a série converge se L<1, ou seja, se
|x-24|<1

Passo 3

Da desigualdade l|x-2r|<4 obtemos
-4< x-2<4 Longrightarrow -2< x<6
Assim, o intervalo aberto de convergência é (-2,6). Faltam agora os extremos x=-2 e x=6.

Passo 4

Verificamos x=-2:
x-2 = -4 Longrightarrow (x-2)^n4^n = l(-1r)^n
Os termos não tendem a zero, logo a série diverge em x=-2.
Verificamos x=6:
x-2 = 4 Longrightarrow (x-2)^n4^n = 1^n = 1
Novamente os termos não tendem a zero, logo a série diverge em x=6.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-2,6)

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