Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido Omega nos seguintes casos:
Omega é delimitado pelo parabolóide -2(x^2+y^2)=z e pelo plano z=-4;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido Omega limitado pelo parabolóide
z = -2l(x^2+y^2r)
e pelo plano
z = -4
O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais triplas usando coordenadas cilíndricas e a transformação
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
onde o elemento de volume fica dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o parabolóide vira
z = -2r^2
e o plano é z=-4. Para encontrar a projeção no plano xy, igualamos
-2r^2 = -4 Longrightarrow r^2 = 2 Longrightarrow r = raiz2
Logo, Omega é dado por
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= raiz2, -4 <= z <= -2r^2

Passo 3

Montamos a integral tripla em cilindricas:
V = integraltheta=0^2piintegralr=0^raiz2integralz=-4^-2r^2 r,dz,dr,dtheta
Primeiro integramos em z:
integralz=-4^-2r^2 r,dz = rl[zr]-4^-2r^2 = rl(-2r^2 - (-4)r) = rl(4 - 2r^2r) = 4r - 2r^3

Passo 4

Agora integramos em r e theta:
V = integral0^2pi!!integral0^raiz2 l(4r - 2r^3r),dr,dtheta = integral0^2pi!!l[;2r^2 - tfrac12 r^4r]0^raiz2dtheta
Em r=raiz2 temos
2(raiz2)^2 - tfrac12(raiz2)^4 = 2cdot 2 - tfrac12cdot 4 = 4 - 2 = 2
Logo
V = integral0^2pi 2,dtheta = 2cdot 2pi = 4pi

Resposta

O volume do sólido Omega é 4pi.

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