Usando uma mudança de coordenadas adequada, calcule o volume do sólido
nos seguintes casos:
é delimitado pelo parabolóide
e pelo plano
;
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
limitado pelo parabolóide
e pelo plano
O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais triplas usando coordenadas cilíndricas e a transformação
onde o elemento de volume fica
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas o parabolóide vira
e o plano é
. Para encontrar a projeção no plano
, igualamos
Logo,
é dado por
Passo 3
Montamos a integral tripla em cilindricas:
Primeiro integramos em
:
Passo 4
Agora integramos em
e
:
Em
temos
Logo
Resposta
O volume do sólido
é
.