Dada a função f=f(x, y) abaixo, determine seus pontos críticos, aplique a condição necessária para determinar os candidatos a máximo e mínimo de f e aplique a condição suciciente para determinar os pontos de máximo e mínimo locais de f :
f(x, y)=-x^{2}+y^{2}+2 x y+4 x-2 y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = -x^{2} + y^{2} + 2xy + 4x - 2y
e pede três coisas: (i) obter os pontos críticos de f (ou seja, os candidatos a extremos), (ii) aplicar a condição necessária para determinar esses candidatos e (iii) aplicar a condição suficiente (teste das derivadas segundas) para dizer se cada ponto crítico é máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vou listar as informações relevantes que temos:
  • A função explícita f(x,y) está dada acima.
  • Precisamos resolver \nabla f(x,y)=0 para obter pontos críticos.
  • Em seguida, usar as derivadas segundas para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais primeiras de f. Lembre-se: para calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante, e para \dfrac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante.
Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(-x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(2xy\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(4x\big) + \frac{\partial}{\partial x}\big(-2y\big).
Agora cada termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2}) = -2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2}) = 0 (pois y é tratado como constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(4x) = 4.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(-2y) = 0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x + 2y + 4.
Agora \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(-x^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(2xy\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(4x\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(-2y\big).
Termos:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-x^{2}) = 0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2}) = 2y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(4x) = 0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2y) = -2.
Assim
\frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2x - 2.

Passo 3

A condição necessária para um ponto crítico é que o gradiente seja nulo:
\nabla f(x,y) = \bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\\ \frac{\partial f}{\partial y}\bigg) = (0,0).
Portanto resolvemos o sistema
\begin{cases} -2x + 2y + 4 = 0,\\[4pt] 2y + 2x - 2 = 0. \end{cases}
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por 2\): \[\begin{cases} -x + y + 2 = 0,\\[4pt] x + y - 1 = 0. \end{cases}
Agora resolvemos esse sistema linear. Subtraindo a primeira equação da segunda (ou somando, conforme preferir): da segunda menos a primeira:
(x+y-1) - (-x+y+2) = 0 - 0 \quad\Rightarrow\quad x+y-1 + x - y -2 = 0,
o que dá
2x - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \tfrac{3}{2}.
Substituindo em (x+y-1=0]:
\tfrac{3}{2} + y - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 1 - \tfrac{3}{2} = -\tfrac{1}{2}.
Logo existe um único ponto crítico:
\left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}\right).]

Passo 4

Breve explicação didática da condição suficiente (teste das derivadas segundas) que vamos usar: definimos as segundas derivadas
f_{xx} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}.
Formamos o discriminante (determinante da Hessiana) no ponto crítico:
D = f_{xx}\,f_{yy} - \big(f_{xy}\big)^{2}.
As regras de classificação (para funções C^{2}) são:
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
  • Se D<0 então o ponto é ponto de sela (nem máximo nem mínimo).
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Explicando em palavras: D mede a curvatura combinada; se a curvatura tem sinais opostos (isto é, D<0) então em direções diferentes a função sobe e desce — característico de sela.

Passo 5

Calculemos as segundas derivadas da nossa f. Partindo das primeiras derivadas já obtidas:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x + 2y + 4,\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y + 2x - 2.
Derivando novamente:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\big(-2x + 2y + 4\big) = -2,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(2y + 2x - 2\big) = 2,
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(-2x + 2y + 4\big) = 2.

Passo 6

Agora o discriminante no ponto (ou, como as segundas derivadas são constantes, em qualquer ponto) é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = (-2)\cdot 2 - (2)^{2} = -4 - 4 = -8.
Como \,D = -8 < 0, pelo teste das derivadas segundas o ponto crítico encontrado é um ponto de sela. Isso significa que não é nem máximo local nem mínimo local: existem direções em que f aumenta ao sair do ponto e outras em que f diminui.

Passo 7

Para completar, se quiser saber o valor da função no ponto crítico, basta substituir:
f\!\left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}\right) = -\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2} + \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2} + 2\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + 4\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right) - 2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right).
Se calcular isso fica f\!\left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}\right)= -\tfrac{9}{4} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{3}{1} + 6 + 1 = (opcional) \tfrac{5}{4}. (Esse valor é só para informação; a classificação não muda.)

Resposta

Ponto crítico: \left(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}\right).
Classificação: ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).

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