Dada a função
abaixo, determine seus pontos críticos, aplique a condição necessária para determinar os candidatos a máximo e mínimo de
e aplique a condição suciciente para determinar os pontos de máximo e mínimo locais de
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas: (i) obter os pontos críticos de
(ou seja, os candidatos a extremos), (ii) aplicar a condição necessária para determinar esses candidatos e (iii) aplicar a condição suficiente (teste das derivadas segundas) para dizer se cada ponto crítico é máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Vou listar as informações relevantes que temos:
- A função explícita
está dada acima. - Precisamos resolver
para obter pontos críticos. - Em seguida, usar as derivadas segundas para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais primeiras de
. Lembre-se: para calcular
tratamos
como constante, e para
tratamos
como constante.
Calculemos
:
Agora cada termo:
-
. -
(pois é tratado como constante). -
. -
. -
.
Portanto
Agora
:
Termos:
-
. -
. -
. -
. -
.
Assim
Passo 3
A condição necessária para um ponto crítico é que o gradiente seja nulo:
Portanto resolvemos o sistema
Podemos simplificar dividindo ambas as equações por
Agora resolvemos esse sistema linear. Subtraindo a primeira equação da segunda (ou somando, conforme preferir): da segunda menos a primeira:
o que dá
Substituindo em (x+y-1=0]:
Logo existe um único ponto crítico:
]
Logo existe um único ponto crítico:
Passo 4
Breve explicação didática da condição suficiente (teste das derivadas segundas) que vamos usar: definimos as segundas derivadas
Formamos o discriminante (determinante da Hessiana) no ponto crítico:
As regras de classificação (para funções
) são:
- Se
e então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então o ponto é ponto de sela (nem máximo nem mínimo). - Se
o teste é inconclusivo.
Explicando em palavras:
mede a curvatura combinada; se a curvatura tem sinais opostos (isto é,
) então em direções diferentes a função sobe e desce — característico de sela.
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas da nossa
. Partindo das primeiras derivadas já obtidas:
Derivando novamente:
Passo 6
Agora o discriminante no ponto (ou, como as segundas derivadas são constantes, em qualquer ponto) é
Como
, pelo teste das derivadas segundas o ponto crítico encontrado é um ponto de sela. Isso significa que não é nem máximo local nem mínimo local: existem direções em que
aumenta ao sair do ponto e outras em que
diminui.
Passo 7
Para completar, se quiser saber o valor da função no ponto crítico, basta substituir:
Se calcular isso fica
(opcional)
. (Esse valor é só para informação; a classificação não muda.)
Resposta
Ponto crítico:
.
Classificação: ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).
Classificação: ponto de sela (nem máximo nem mínimo local).