Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valor mínimo da função sujeita à restrição dada.
f(x, y)=x^2 y^2 ; x y=1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o mínimo da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ sujeita à restrição $ x y = 1 $. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que nos ajudam a otimizar uma função com certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto de mínimo, o gradiente da função que queremos otimizar ($ \nabla f nabla f çã \nabla g $), onde $ g(x,y) = x y -1 $. Assim, temos a equação:
nabla g
onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes. Para $ f(x,y) = x^{2} y^{2} $:
f(x,y) = x^2 y^2
E para a restrição $ g(x,y) = x y -1 $:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) = (2x y^2, 2x^2 y)

Passo 4

Agora, igualamos os gradientes multiplicados por $ \lambda $:
lambda
2x y^2 = lambda y (1)
E temos a restrição:
2x^2 y = lambda x (2)

Passo 5

Vamos resolver essas equações. Da equação (1):
2x y^2 = lambda y implies lambda = 2x y
Da equação (2):
2x^2 y = lambda x implies lambda = 2x y
Então, ambas confirmam que $ \lambda = 2x y $.

Passo 6

Usando a restrição $ x y = 1 $, podemos expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, $ y = \frac{1}{x} $. Substituindo na função que queremos minimizar:
x y = 1

Resposta

O valor mínimo da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ sujeito à restrição $ x y = 1 $ é 1.

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