Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valor mínimo da função sujeita à restrição dada.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o mínimo da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ sujeita à restrição $ x y = 1 $. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que nos ajudam a otimizar uma função com certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam os multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto de mínimo, o gradiente da função que queremos otimizar ($ \nabla f
\nabla g $), onde $ g(x,y) = x y -1 $. Assim, temos a equação:
onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes. Para $ f(x,y) = x^{2} y^{2} $:
E para a restrição $ g(x,y) = x y -1 $:
Passo 4
Agora, igualamos os gradientes multiplicados por $ \lambda $:
E temos a restrição:
Passo 5
Vamos resolver essas equações. Da equação (1):
Da equação (2):
Então, ambas confirmam que $ \lambda = 2x y $.
Passo 6
Usando a restrição $ x y = 1 $, podemos expressar uma variável em termos da outra. Por exemplo, $ y = \frac{1}{x} $. Substituindo na função que queremos minimizar:
Resposta
O valor mínimo da função $ f(x, y) = x^{2} y^{2} $ sujeito à restrição $ x y = 1 $ é 1.