(1,5) Usando a mudança de variável x=a cdot sec theta(0<theta<pi2), mostrar que integral raizx^2-a^2x d x= a integral tg^2 theta d theta e calcular essa integral. Observe que: 1+tg^2 theta=sec ^2 theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral raizx^2-a^2x,dx
usando a substituição trigonométrica
x = asectheta, 0<theta<pi2
O conteúdo aqui é integração por mudança de variável, mais especificamente uma mudança que elimina a raiz quadrada de x^2-a^2.

Passo 2

Primeiro expressamos tudo em função de theta. Da definição x=asectheta temos
dx = asectheta,tantheta,dtheta
e
raizx^2-a^2 = raiza^2sec^2theta - a^2 = a,tantheta
Também aparece um fator 1/x, mas
1x = 1asectheta = costhetaa

Passo 3

Substituindo na integral original,
integral raizx^2-a^2x,dx = integral l(a,tanthetar),costhetaa,l(asectheta,tantheta,dthetar)
Cancelando a e usando secthetacostheta=1, sobra
integral a,tan^2theta,dtheta = a integral tan^2theta,dtheta
Isso mostra a parte pedida de que a integral vira aintegral tan^2theta,dtheta.

Passo 4

Para calcular integral tan^2theta,dtheta usamos a identidade
tan^2theta = sec^2theta - 1
Assim
integral tan^2theta,dtheta = integral sec^2theta,dtheta ;-;integral 1,dtheta = tantheta ;-;theta ;+;C
Multiplicando por a, obtemos
aintegral tan^2theta,dtheta = a,tantheta ;-;a,theta ;+;C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável . Da substituição obtemos
e
Substituindo em , dá

Resposta

integral raizx^2-a^2x,dx = raizx^2-a^2 ;-;a,arccos!l(tfracaxr) ;+;C

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