Usando a mudança de variável
, mostrar que
e calcular essa integral. Observe que:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a substituição trigonométrica
O conteúdo aqui é integração por mudança de variável, mais especificamente uma mudança que elimina a raiz quadrada de
.
Passo 2
Primeiro expressamos tudo em função de
. Da definição
temos
e
Também aparece um fator
, mas
Passo 3
Substituindo na integral original,
Cancelando
e usando
, sobra
Isso mostra a parte pedida de que a integral vira
.
Passo 4
Para calcular
usamos a identidade
Assim
Multiplicando por
, obtemos
Passo 5
Finalmente, voltamos à variável
. Da substituição
obtemos
e
Substituindo em
, dá