Calcular as derivadas pela definição
f(x)=x^{2}+2 x+5, x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x^2+2x+5
no ponto x0=1 usando a definição de derivada. Vamos usar a fórmula
f'(x0) = limhto 0 f(x0+h)-f(x0)h

Passo 2

Aplicando x0=1 na diferença quociente, escrevemos
f(1+h)-f(1)h

Passo 3

Calculamos f(1+h) e f(1):
f(1+h) = (1+h)^2 + 2(1+h) + 5 = 1 + 2h + h^2 + 2 + 2h + 5 = 8 + 4h + h^2,
f(1) = 1^2 + 2cdot1 + 5 = 8
Logo,
f(1+h)-f(1)h = (8 + 4h + h^2) - 8h = 4h + h^2h

Passo 4

Simplificando o quociente:
4h + h^2h = 4 + h
Agora tomamos o limite quando hto0:
f'(1) = limhto0(4 + h) = 4

Resposta

O valor da derivada de f em x0=1 é
f'(1) = 4

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