Determine e esboce o domínio e a imagem das funções. f(x, y, z) = ln(16 - 4x^2 - 4y^2 - z^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar e desenhar o domínio e a imagem da função . Isso envolve entender onde a função está “valendo” (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Vamos precisar usar conceitos de funções logarítmicas e desigualdades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. Como estamos lidando com um logaritmo natural, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, a expressão dentro do ln deve satisfazer:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa desigualdade para entender melhor a região que estamos descrevendo. Dividindo todos os termos por 16:
Simplificando:
Isso representa um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de comprimento 2, 2 e 4 nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 4

Então, o domínio da função é todo ponto que está dentro desse elipsoide:

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores que pode assumir. Sabemos que o logaritmo natural, , está definido para . No nosso caso:
Quando se aproxima de 0, tende a .
Quando é máximo, ou seja, quando , temos:
Então, a imagem da função vai de até .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos dentro do elipsoide definido por . A imagem da função é o intervalo .

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