Determine e esboce o domínio e a imagem das funções.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar e desenhar o domínio e a imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está “valendo” (domínio) e quais valores ela pode assumir (imagem). Vamos precisar usar conceitos de funções logarítmicas e desigualdades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. Como estamos lidando com um logaritmo natural, o que está dentro do logaritmo precisa ser maior que zero. Então, a expressão dentro do ln deve satisfazer:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa desigualdade para entender melhor a região que estamos descrevendo. Dividindo todos os termos por 16:
Simplificando:
Isso representa um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de comprimento 2, 2 e 4 nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 4
Então, o domínio da função
é todo ponto
que está dentro desse elipsoide:
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que o logaritmo natural,
, está definido para
. No nosso caso:
Quando
se aproxima de 0,
tende a
.
Quando
é máximo, ou seja, quando
, temos:
Então, a imagem da função vai de
até
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
dentro do elipsoide definido por
. A imagem da função é o intervalo
.