Usando a mudauça de variáveis
e
, calcule a integral
onde
é a região limitada pelas linhas
e
e as curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve uma mudança de variáveis. A questão pede para calcular a integral
onde a região $ R $ é delimitada pelas linhas $ x + y = 1 $ e $ x + y = 3 $, e pelas curvas $ x^{2} - y^{2} = -1 $ e $ x^{2} - y^{2} = 1 $. Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis $ u = x - y $ e $ v = x + y $. Vamos precisar entender como fazer essa mudança, calcular o determinante jacobiano e ajustar os limites de integração para a nova região em termos de $ u $ e $ v $.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as novas variáveis:
Com isso, precisamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. Resolvendo essas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano $ J $ é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 4
Com o jacobiano calculado, podemos expressar a integral original em termos de $ u $ e $ v $. Substituindo:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração na região $ R’ $ em termos de $ u $ e $ v $. As restrições originais são:
Assim, para $ v $ variando de 1 a 3, $ u $ varia de $ -\frac{1}{v} $ a $ \frac{1}{v} $. Então, os limites de integração são:
Passo 6
Agora, vamos integrar passo a passo. Primeiramente, integrando em relação a $ u $:
Para resolver a integral interna $ \int u e^{u v} , du $, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Agora, aplicando os limites de $ u $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Calculando essa integral:
Então:
Sabendo que $ \ln 1 = 0 $:
Resposta
A integral dupla vale