Usando a mudauça de variáveis u=x-y e v=x+y, calcule a integral
integralegral duplaR(x-y) e^x^2-y^2 d A
onde R é a região limitada pelas linhas x+y=1 e x+y=3 e as curvas x^2-y^2=-1 e x^2-y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve uma mudança de variáveis. A questão pede para calcular a integral
integral duplaR(x - y) e^x^2 - y^2 , dA
onde a região $ R $ é delimitada pelas linhas $ x + y = 1 $ e $ x + y = 3 $, e pelas curvas $ x^{2} - y^{2} = -1 $ e $ x^{2} - y^{2} = 1 $. Para resolver isso, vamos usar a mudança de variáveis $ u = x - y $ e $ v = x + y $. Vamos precisar entender como fazer essa mudança, calcular o determinante jacobiano e ajustar os limites de integração para a nova região em termos de $ u $ e $ v $.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as novas variáveis:
u = x - y
v = x + y
Com isso, precisamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de $ u $ e $ v $. Resolvendo essas equações:
Somando as duas equações:
x
Subtraindo as duas equações:
y

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano $ J $ é dado por:
J
Calculando as derivadas parciais:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12
Então,
partial ypartial u = -12, partial ypartial v = 12

Passo 4

Com o jacobiano calculado, podemos expressar a integral original em termos de $ u $ e $ v $. Substituindo:
u
v
x - y = u
Portanto, a integral fica:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = u cdot v

Passo 5

Agora, precisamos determinar os novos limites de integração na região $ R’ $ em termos de $ u $ e $ v $. As restrições originais são:
R'
u
v
x + y = 1 Rightarrow v = 1
Assim, para $ v $ variando de 1 a 3, $ u $ varia de $ -\frac{1}{v} $ a $ \frac{1}{v} $. Então, os limites de integração são:
x + y = 3 Rightarrow v = 3
x^2 - y^2 = -1 Rightarrow u v = -1

Passo 6

Agora, vamos integrar passo a passo. Primeiramente, integrando em relação a $ u $:
u
Para resolver a integral interna $ \int u e^{u v} , du $, usamos a técnica de integração por partes, onde:
12 integralv=1^3 ( integralu=-1v^1v u e^u v , du ) dv
integral u e^u v , du
Aplicando integração por partes:
Seja w = u Rightarrow dw = du
Agora, aplicando os limites de $ u $:
e dz = e^u v du Rightarrow z = 1v e^u v
Simplificando:
integral u e^u v du = u cdot 1v e^u v - integral 1v e^u v du = uv e^u v - 1v^2 e^u v + C

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
12 integral1^3 ( 1v (e + e^-1) - 1v^2 (e + e^-1) ) dv = e + e^-12 integral1^3 ( 1v - 1v^2 ) dv
Calculando essa integral:
integral 1v dv = ln |v|
integral 1v^2 dv = -1v
Então:
e + e^-12 [ ln v + 1v ]1^3 = e + e^-12 ( ln 3 + 13 - (ln 1 + 1) )
Sabendo que $ \ln 1 = 0 $:
ln 1 = 0

Resposta

A integral dupla vale
e + e^-12 ( ln 3 - 23 )

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