Dada I=integral0^1 integral4 x^4 e^-y^2 d y d x, faça o que se pede:
(1.0) Calcule a integral dupla I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla, que é tipo integrar em duas direções diferentes. O enunciado nos pede para calcular
I = integral0^1 integral4x^4 e^-y^2 , dy , dx
Para resolver isso, a gente vai precisar entender de integrais duplas e, possivelmente, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em relação a $ y $, de $ y = 4x $ até $ y = 4 $, e depois em relação a $ x $, de $ x = 0 $ até $ x = 1 $.
Mas às vezes, mudar a ordem das integrais ajuda. Vamos desenhar a região:
  • $ x $ varia de 0 a 1.
  • Para cada $ x $, $ y $ varia de $ 4x $ a 4.
Então, a região é um trapézio no plano $ xy $.

Passo 3

Vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites:
  • $ y $ varia de 0 a 4.
  • Para cada $ y $, $ x $ varia de 0 até $ y/4 $.
Então, a integral fica:
y

Passo 4

Agora, observe que $ e{-y{2}} $ não depende de $ x $, então podemos simplificar a integração interna:
e^-y^2

Passo 5

Substituindo isso na integral, temos:
I = integral0^4 y4 e^-y^2 , dy = 14 integral0^4 y e^-y^2 , dy

Passo 6

Agora, para resolver $ \int y e{-y{2}} , dy $, usamos uma substituição simples. Seja $ u = -y^{2} $, então $ du = -2y , dy $ ou $ -\frac{1}{2} du = y , dy $.
Substituindo:
integral y e^-y^2 , dy

Passo 7

Integrando $ e^{u} $:
e^u

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é
I = 18 ( 1 - e^-16 )

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