Dada
, faça o que se pede:
(1.0) Calcule a integral dupla
.
(1.0) Calcule a integral dupla
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla, que é tipo integrar em duas direções diferentes. O enunciado nos pede para calcular
Para resolver isso, a gente vai precisar entender de integrais duplas e, possivelmente, mudar a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em relação a $ y $, de $ y = 4x $ até $ y = 4 $, e depois em relação a $ x $, de $ x = 0 $ até $ x = 1 $.
Mas às vezes, mudar a ordem das integrais ajuda. Vamos desenhar a região:
- $ x $ varia de 0 a 1.
- Para cada $ x $, $ y $ varia de $ 4x $ a 4.
Então, a região é um trapézio no plano $ xy $.
Passo 3
Vamos trocar a ordem de integração. Para isso, precisamos reescrever os limites:
- $ y $ varia de 0 a 4.
- Para cada $ y $, $ x $ varia de 0 até $ y/4 $.
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, observe que $ e{-y{2}} $ não depende de $ x $, então podemos simplificar a integração interna:
Passo 5
Substituindo isso na integral, temos:
Passo 6
Agora, para resolver $ \int y e{-y{2}} , dy $, usamos uma substituição simples. Seja $ u = -y^{2} $, então $ du = -2y , dy $ ou $ -\frac{1}{2} du = y , dy $.
Substituindo:
Passo 7
Integrando $ e^{u} $:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é