(2.0) Reescreva a integral
na ordem
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla na ordem $ dz , dy , dx $ com os limites de integração de 0 a 4 para $ x $, de 0 a
para $ y $ e de 0 a
para $ z $. O assunto aqui é mudança de ordem de integração em integrais múltiplas. Vamos precisar entender como descrever a região de integração e ajustar os limites para reescrever a integral na ordem $ dx , dy , dz $.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Imagina um espaço tridimensional onde $ x $, $ y $ e $ z $ variam dentro dos limites dados. Para mudar a ordem dos diferenciais, precisamos expressar os limites de $ x $, $ y $ e $ z $ de forma que possamos integrar primeiro em $ x $, depois em $ y $ e por último em $ z $.
Passo 3
Vamos determinar os novos limites para cada variável:
-
Para $ z $: Observando os limites originais, $ z $ varia de 0 até
. Para encontrar o limite superior de $ z $ independentemente de $ x $ e $ y $, resolvemos $ 12 - 3x - 6y \geq 0 $ que implica $ z \leq 3 $. -
Para $ y $: Dado um valor de $ z $, $ y $ varia de 0 até
. -
Para $ x $: Para cada $ y $ e $ z $, $ x $ varia de 0 até
.
Passo 4
Com os novos limites determinados, montamos a integral na ordem $ dx , dy , dz $:
- $ x $: de 0 até
- $ y $: de 0 até
- $ z $: de 0 até 3
Resposta
A integral reescrita na ordem $ dx , dy , dz $ fica: