(2.0) Reescreva a integral integral0^4 integral0^4-z2 integral0^12-3 x-6 y4 d z d y d x na ordem d x d y d z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla na ordem $ dz , dy , dx $ com os limites de integração de 0 a 4 para $ x $, de 0 a dz , dy , dx para $ y $ e de 0 a x para $ z $. O assunto aqui é mudança de ordem de integração em integrais múltiplas. Vamos precisar entender como descrever a região de integração e ajustar os limites para reescrever a integral na ordem $ dx , dy , dz $.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Imagina um espaço tridimensional onde $ x $, $ y $ e $ z $ variam dentro dos limites dados. Para mudar a ordem dos diferenciais, precisamos expressar os limites de $ x $, $ y $ e $ z $ de forma que possamos integrar primeiro em $ x $, depois em $ y $ e por último em $ z $.

Passo 3

Vamos determinar os novos limites para cada variável:
  1. Para $ z $: Observando os limites originais, $ z $ varia de 0 até z . Para encontrar o limite superior de $ z $ independentemente de $ x $ e $ y $, resolvemos $ 12 - 3x - 6y \geq 0 $ que implica $ z \leq 3 $.
  2. Para $ y $: Dado um valor de $ z $, $ y $ varia de 0 até z .
  3. Para $ x $: Para cada $ y $ e $ z $, $ x $ varia de 0 até 12 - 3x - 6y4.

Passo 4

Com os novos limites determinados, montamos a integral na ordem $ dx , dy , dz $:
  • $ x $: de 0 até dx , dy , dz
  • $ y $: de 0 até x
  • $ z $: de 0 até 3

Resposta

A integral reescrita na ordem $ dx , dy , dz $ fica:
dx , dy , dz

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