Usando multiplicadores de Lagrange encontre os pontos da esfera x^2+y^2+z^2=4 que são, o mais próximo e o mais afastado do ponto (3,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos da esfera x^2+y^2+z^2=4 que ficam mais próximos e mais afastados do ponto (3,1,-1). O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar formular uma função distância (ou sua versão ao quadrado) e impor a restrição da esfera.

Passo 2

Para usar Lagrange, definimos a função objetivo como a distância ao quadrado entre (x,y,z) e (3,1,-1):
f(x,y,z) = (x-3)^2 + (y-1)^2 + (z+1)^2,
e a restrição é a equação da esfera:
g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4 = 0

Passo 3

Construímos a lagrangiana:
L(x,y,z,lambda) = f(x,y,z) + lambda,g(x,y,z)
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x = 2(x-3) + 2lambda x = 0,
partial Lpartial y = 2(y-1) + 2lambda y = 0,
partial Lpartial z = 2(z+1) + 2lambda z = 0

Passo 4

Simplificando cada equação por 2 e rearranjando, obtemos:
x - 3 + lambda x = 0 implies x(1+lambda) = 3,
y - 1 + lambda y = 0 implies y(1+lambda) = 1,
z + 1 + lambda z = 0 implies z(1+lambda) = -1
Logo:
x = 31+lambda, y = 11+lambda, z = -11+lambda

Passo 5

Agora imponho a restrição x^2+y^2+z^2=4. Substituindo:
l(31+lambdar)^2 + l(11+lambdar)^2 + l(-11+lambdar)^2 = 4
Isso dá:
3^2 + 1^2 + (-1)^2(1+lambda)^2 = 4 implies 11(1+lambda)^2 = 4 implies (1+lambda)^2 = 114

Passo 6

Temos duas soluções para 1+lambda:
1+lambda = raiz112 ou 1+lambda = -raiz112
Substituindo em x,y,z, obtemos dois candidatos:
Se 1+lambda=tfracraiz112,
x= 3raiz11/2 = 6raiz11, y= 2raiz11, z= -2raiz11
Se 1+lambda=-tfracraiz112,
x= -6raiz11, y= -2raiz11, z= 2raiz11

Passo 7

Para saber qual é mínimo e qual é máximo, basta raciocinar que o ponto mais próximo de (3,1,-1) é aquele sobre a esfera que fica na mesma direção do vetor (3,1,-1) desde a origem, e o mais afastado fica na direção oposta. Como (3,1,-1) tem norma raiz11>2, o parâmetro positivo dá o ponto mais próximo, e o negativo o mais afastado.

Resposta

Ponto mais próximo: l(tfrac6raiz11,tfrac2raiz11,-tfrac2raiz11r);
Ponto mais afastado: l(-tfrac6raiz11,-tfrac2raiz11,tfrac2raiz11r).

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