Usando multiplicadores de Lagrange encontre os pontos da esfera
que são, o mais próximo e o mais afastado do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos da esfera
que ficam mais próximos e mais afastados do ponto
. O conteúdo é otimização com restrição usando multiplicadores de Lagrange, e vamos precisar formular uma função distância (ou sua versão ao quadrado) e impor a restrição da esfera.
Passo 2
Para usar Lagrange, definimos a função objetivo como a distância ao quadrado entre
e
:
e a restrição é a equação da esfera:
Passo 3
Construímos a lagrangiana:
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Simplificando cada equação por 2 e rearranjando, obtemos:
Logo:
Passo 5
Agora imponho a restrição
. Substituindo:
Isso dá:
Passo 6
Temos duas soluções para
:
Substituindo em
, obtemos dois candidatos:
Se
,
Se
,
Passo 7
Para saber qual é mínimo e qual é máximo, basta raciocinar que o ponto mais próximo de
é aquele sobre a esfera que fica na mesma direção do vetor
desde a origem, e o mais afastado fica na direção oposta. Como
tem norma
, o parâmetro positivo dá o ponto mais próximo, e o negativo o mais afastado.
Resposta
Ponto mais próximo:
;
Ponto mais afastado: .
Ponto mais afastado: