Calcule a integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A questão pede para calcular a integral de $ x \cos(2y) $ sobre a região $ R $, onde $ R $ é definida por $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ -\frac{\pi}{4} \leq y \leq \frac{\pi}{4} $. Isso está relacionado ao estudo de integrais duplas em cálculo, que nos ajudam a encontrar o volume sob uma superfície em uma região bidimensional. Vamos precisar saber como configurar e calcular integrais iteradas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração $ R $. Temos que $ x $ varia de 0 a 1 e $ y $ varia de $ -\frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{4} $. Isso significa que podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada, ou seja, integrando primeiro em relação a uma variável e depois na outra. Vamos escolher integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, que é em relação a $ x $:
Aqui, $ \cos(2y) $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ x $. Então, podemos tirar $ \cos(2y) $ da integral:
A integral de $ x $ em relação a $ x $ é:
Avaliada de 0 a 1, temos:
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos tirar a constante $ \frac{1}{2} $ para fora da integral:
Para integrar $ \cos(2y) $ em relação a $ y $, usamos a fórmula da integral de $ \cos(k y) $:
No nosso caso, $ k = 2 $, então:
Avaliada de $ -\frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{4} $, temos:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ e $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $, então:
Multiplicando pela constante que tiramos antes:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{1}{2} $.