Achar os pontos de extremo condicionado das seguintes funções
, condicionado
,
Passo 1
Nesse exercício queremos achar os extremos de f(x,y)=xy sob a restrição ax+y=1. O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos condicionados.
Passo 2
Para aplicar Lagrange, a gente define a função Lagrangiana
A ideia é incluir a restrição
pela variável auxiliar
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Da primeira vem
e da segunda
.
Passo 4
Substituindo
e
na restrição
dá
Logo
Passo 5
Para classificar, podemos reduzir f a uma variável: como
, temos
Se
então
e é máximo; se
então
e é mínimo. Não há extremo para
porque a restrição vira
e f é linear em x.
Resposta
O único ponto de extremo condicionado é
com valor
. Para
é máximo, para
é mínimo e não há extremo se
.