Achar os pontos de extremo condicionado das seguintes funções
f(x, y)=x y, condicionado a x+y=1,

Passo 1

Nesse exercício queremos achar os extremos de f(x,y)=xy sob a restrição ax+y=1. O conteúdo aqui é multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos condicionados.

Passo 2

Para aplicar Lagrange, a gente define a função Lagrangiana
L(x,y,lambda)=x,y - lambdal(a x + y -1r)
A ideia é incluir a restrição a x + y = 1 pela variável auxiliar lambda.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partialLpartial x=y - lambda a=0,
partialLpartial y=x - lambda=0,
partialLpartiallambda=-(a x + y -1)=0
Da primeira vem y=alambda e da segunda x=lambda.

Passo 4

Substituindo x=lambda e y=alambda na restrição a x + y =1
alambda + alambda=1 Rightarrow 2alambda=1 Rightarrow lambda=12a
Logo
x=12a, y=12

Passo 5

Para classificar, podemos reduzir f a uma variável: como y=1-ax, temos
f(x)=x(1-ax)=x - a x^2,
f'(x)=1-2ax=0 Rightarrow x=12a,
f''(x)=-2a
Se a>0 então f''<0 e é máximo; se a<0 então f''>0 e é mínimo. Não há extremo para a=0 porque a restrição vira y=1 e f é linear em x.

Resposta

O único ponto de extremo condicionado é l(tfrac12a,tfrac12r) com valor f=tfrac14a. Para a>0 é máximo, para a<0 é mínimo e não há extremo se a=0.

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