Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, em coordenadas cartesianas e usando notação indicial, que
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: definimos a componente do gradiente e a componente do rotacional em notação de índices de Einstein, usando o símbolo de Levi-Civita
e derivadas parciais
.
Passo 2
Em notação indicial, a componente
-ésima do gradiente de
é
Aqui
significa
.
Passo 3
A componente
-ésima do rotacional de um campo vetorial
vem dada por
Passo 4
Aplicando ao caso
, obtemos
Passo 5
Agora usamos dois fatos fundamentais:
- As derivadas parciais de
são comutativas, ou seja
- O símbolo de Levi-Civita é anti-simétrico nas permutações de
e , ou seja
Juntando-os, vemos que