Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
rot(grad(f))=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, em coordenadas cartesianas e usando notação indicial, que
rot(grad(f)) = 0
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: definimos a componente do gradiente e a componente do rotacional em notação de índices de Einstein, usando o símbolo de Levi-Civita epsilonijk e derivadas parciais partialj.

Passo 2

Em notação indicial, a componente j-ésima do gradiente de f é
(gradf)j = partialj f
Aqui partialj significa partialpartial x^j.

Passo 3

A componente i-ésima do rotacional de um campo vetorial A vem dada por
(rotA)i = epsiloni j k,partialj Ak

Passo 4

Aplicando ao caso Ak = (gradf)k = partialk f, obtemos
(rot(gradf))i = epsiloni j k,partialj(partialk f) = epsiloni j k,partialjpartialk f

Passo 5

Agora usamos dois fatos fundamentais:
  1. As derivadas parciais de f são comutativas, ou seja
partialjpartialk f = partialkpartialj f
  1. O símbolo de Levi-Civita é anti-simétrico nas permutações de j e k, ou seja
epsiloni j k = -,epsiloni k j
Juntando-os, vemos que
epsiloni j k,partialjpartialk f = -,epsiloni j k,partialjpartialk f Longrightarrow epsiloni j k,partialjpartialk f = 0

Resposta

rot(grad(f)) = 0

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