Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
div(x)=3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em coordenadas cartesianas e usando notação indicial (Einstein), que a divergência do vetor posição x em R^3 é igual a 3. Vamos precisar da definição de divergência em índice e da propriedade das derivadas parciais de coordenadas.

Passo 2

Em notação indicial, o vetor posição tem componentes x^i (com i=1,2,3) e a divergência de x é dada por
divx = partiali x^i,
onde partialiequivpartialpartial x^i e soma-se automaticamente sobre i.

Passo 3

Usamos a regra básica de derivadas parciais de coordenadas:
partiali x^j = de<ai^;j,
sendo de<ai^;j o delta de Kronecker. Assim,
partiali x^i = de<ai^;i
Como o índice i varia de 1 a 3, o traço do delta de Kronecker é
de<ai^;i = 1 + 1 + 1 = 3

Resposta

3

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