Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, em coordenadas cartesianas usando notação indicial, a identidade de cálculo vetorial
Vamos usar os seguintes elementos de teoria:
- Produto vetorial em notação indicial:
- Divergência em notação indicial:
- Rotacional em notação indicial:
- Propriedades do símbolo de Levi-Civita:
Passo 2
Escrevemos a divergência do produto vetorial em notação indicial:
Passo 3
Aplicamos a regra do produto na derivada:
Passo 4
No primeiro termo, reconhecemos o produto escalar de
pelo rotacional de
. De fato,
Passo 5
No segundo termo, usamos
para trocar
:
Em seguida aplicamos a propriedade cíclica
, renomeamos índices e obtemos
Passo 6
Somando os dois resultados:
que é exatamente a identidade desejada.