Usando notação indicial, demonstre que, em coordenadas cartesianas:
div(u times v)=v cdot(nabla times u)-u cdot(nabla times v)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, em coordenadas cartesianas usando notação indicial, a identidade de cálculo vetorial
div(utimesv) =vcdot(nablatimesu) -ucdot(nablatimesv)
Vamos usar os seguintes elementos de teoria:
  1. Produto vetorial em notação indicial: (utimesv)i =varepsiloni j k,uj,vk
  2. Divergência em notação indicial: divw =partialiwi
  3. Rotacional em notação indicial: (nablatimesu)i =varepsiloni j k,partialjuk
  4. Propriedades do símbolo de Levi-Civita: varepsiloni j k=-varepsiloni k j, varepsiloni m l=varepsilonl i m

Passo 2

Escrevemos a divergência do produto vetorial em notação indicial:
div(utimesv) =partialil((utimesv)ir) =partialil(varepsiloni j k,uj,vkr)

Passo 3

Aplicamos a regra do produto na derivada:
partialil(varepsiloni j k,uj,vkr) =varepsiloni j k,(partialiuj),vk +varepsiloni j k,uj,(partialivk)

Passo 4

No primeiro termo, reconhecemos o produto escalar de v pelo rotacional de u. De fato,
varepsiloni j k,(partialiuj),vk =vk,l(varepsilonk i j,partialiujr) =vcdot(nablatimesu)

Passo 5

No segundo termo, usamos varepsiloni j k=-varepsiloni k j para trocar jrightarrow k:
varepsiloni j k,uj,partialivk =-varepsiloni k j,uj,partialivk
Em seguida aplicamos a propriedade cíclica varepsiloni k j=varepsilonj i k, renomeamos índices e obtemos
-varepsiloni k j,uj,partialivk =-varepsilonj i k,uj,partialivk =-,uj,l(varepsilonj i k,partialivkr) =-,ucdot(nablatimesv)

Passo 6

Somando os dois resultados:
div(utimesv) =vcdot(nablatimesu) -ucdot(nablatimesv),
que é exatamente a identidade desejada.

Resposta

div(utimesv) =vcdot(nablatimesu) -ucdot(nablatimesv)

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