Usando (6), obtenha a solução de (1) na forma de integral satisfazendo à condição inicial
onde:
. [Use o Problema 4 da Seção 11.7.]
Passo 1
O enunciado pede: obter a solução de (1) na forma de integral que satisfaça à condição inicial
, onde
, usando a fórmula indicada em (6) e o Problema 4 da Seção 11.7.
Informações fornecidas explicitamente pelo enunciado:
Informações fornecidas explicitamente pelo enunciado:
- Condição inicial:
.
Informações necessárias que não foram fornecidas no enunciado que você me mandou:
- A equação (1) (ou seja, qual é a PDE que deve ser resolvida).
- A expressão (6) (provavelmente uma fórmula de solução, um núcleo fundamental/Green ou similar).
- O conteúdo do Problema 4 da Seção 11.7 (que o enunciado manda usar).
Sem saber o que são (1) e (6) não é possível entregar uma forma integral específica única (porque a forma do núcleo/propagador depende da PDE). A seguir eu mostro como proceder de forma geral (passo a passo e didática) e então aplico ao caso concreto da condição inicial
, produzindo a forma integral geral que você obteria assim que souber qual é o símbolo (ou núcleo) vindo de (6).
Passo 2
Ideia geral (motivo prático de transformar tudo em integrais): para PDEs lineares com coeficientes constantes em
a técnica padrão é aplicar a transformada de Fourier em
. Isso transforma derivadas espaciais em multiplicações por uma função do parâmetro de frequência, reduzindo a PDE a uma ODE em
. Depois faz-se a transformada inversa para voltar a
. Vou explicar essa ideia devagarinho.
Definições (convenção usada; escrevo tudo explicitamente para não haver confusão):
- Transformada de Fourier em
:
- Transformada inversa:
Explicação curta:
é a representação de
no espaço das frequências; multiplicações por polinômios de derivadas em
viram multiplicações por funções de
.
Passo 3
Passe da PDE para a equação no espaço de Fourier (estrutura genérica).
Suponha que a PDE (1) seja linear e translacionalmente invariante em , de forma que, aplicando a transformada em
, a PDE fica
Suponha que a PDE (1) seja linear e translacionalmente invariante em
onde
é o símbolo (função de
) associado ao operador espacial que aparece em (1). Exemplos:
- Para a equação do calor
tem-se . - Para a equação da onda em primeira ordem em tempo (ou transformada de certa formula) o
seria diferente.
A ODE em
é simples e separável; integrando em
obtemos
Como
(transformada da condição inicial), temos
Passo 4
Voltar para
pela transformada inversa dá a solução na forma integral geral (a forma que provavelmente corresponde ao que o item (6) fornece, se (6) for o núcleo/propagador):
Esta é a forma integral genérica: tudo se reduz a conhecer
(que vem da PDE/(6)) e
(que vem da condição inicial).
Passo 5
Agora calculamos
para a condição dada
. Isto é uma transformada clássica: a transformada de
é uma função retangular (pulso) no domínio de
. Faço o cálculo de forma clara e elementar.
Identidade útil (fácil de verificar integrando exponencial em
):
Dessa igualdade segue imediatamente:
Agora usamos isso para obter
. Pela definição,
Troca de integrais (válida em sentido de distribuições / transformadas): primeiro integramos em
:
A integral
representa
. Assim
A integral em
seleciona
se
, dando
Em palavras:
. (Nos pontos de fronteira
vale a convenção de valor médio, mas isto não altera integrais.)
Observação mais direta e sem distribuições: a relação inversa já escrita
é a forma de transformar retângulo em sinc; multiplicando por
dá a mesma conclusão: transformada de
é
no intervalo
.
Passo 6
Substituindo
na fórmula geral do Passo 4 obtemos a solução em forma integral explícita (a expressão final depende apenas de
, que é o que a PDE/(6) fornece):
Como a função integrando é complex-conjugada simétrica (a solução deve ser real) podemos reescrever usando cosseno:
Esta é a forma integral final, expressa unicamente em termos de
. Ela responde ao pedido “obter a solução na forma de integral” — basta agora substituir a função
que corresponde ao operador espacial da equação (1) (ou usar a fórmula (6) que o enunciado menciona) para ter a fórmula completamente explícita.
Passo 7
Interpretações e exemplos concretos (para orientar a aplicação prática na prova):
- Se (1) for a equação do calor
, então e
- Se (1) for outra PDE com símbolo conhecido (por exemplo
ou , etc.), basta substituir na integral do Passo 6.
Dica prática para a prova: geralmente (6) é exatamente a expressão do propagador (ou do núcleo fundamental) e a etapa que eu fiz (usar a transformada de Fourier e a transformada de
) é precisamente o que se pede. Depois de substituir
, às vezes a integral pode ser simplificada usando simetrias ou avaliando integrais conhecidas; noutras situações a integral fica como resposta final aceitável.
Resposta
ou, equivalentemente,
onde
é o símbolo do operador espacial da equação (1) (isto é, a função que aparece em (6)).