Usando (6), obtenha a solução de (1) na forma de integral satisfazendo à condição inicial
onde:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado (resumo claro):
- Pede-se obter a solução de (1) usando a fórmula (6) e que essa solução satisfaça a condição inicial
com
- Não há outras informações explícitas sobre (1) e (6) no enunciado, então vou usar a forma usual em que (6) é a representação integral da solução do problema de Cauchy para a equação do calor em
:
onde
é o núcleo fundamental (núcleo gaussiano) do calor.
- O enunciado pede a solução “na forma de integral” — portanto produzirei primeiro a forma convolucional (usando (6)) e em seguida avaliarei explicitamente essa integral para
.
Passo 2
Esclarecendo a fórmula que vamos usar e por que ela é apropriada (explicação didática curta):
- A fórmula
é a solução do problema de Cauchy para a equação do calor com condição inicial
. Aqui:
-
é a solução procurada; -
é o tempo; -
é a posição; -
é o núcleo gaussiano que faz a “média ponderada” da condição inicial. - Portanto, simplesmente substituímos
na convolução acima.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a forma integral com
:
Essa é a resposta em forma de integral (convolução). Agora vamos avaliar essa integral em forma explícita usando divisão em duas partes (porque
muda em
).
Passo 4
Separando a integral em
e
(passo técnico e didático):
Explicação rápida: para
tem-se
então
; para
tem-se
.
Passo 5
Avaliação das integrais por completar o quadrado — método padrão para gaussianas multiplicadas por exponencial linear:
- Para a integral sobre
(chamei de ):
comece com o expoenteReescrevendo e completando o quadrado (mostrando os passos): Assim Portanto - Para a integral sobre
(chamei de ):
comece comLogo
Passo 6
Expressão das integrais gaussianas em termos da função erro (erf/erfc):
- Usar a mudança de variável padrão
para integrar . Recordando a relação e que . - Aplicando isso aos nossos termos obtemos, após simplificar o fator
, a forma fechada:
Passo 7
Simplificar a expressão usando
para uma forma alternativa e um pouco mais simétrica:
- Aplicando a identidade
ao segundo termo dá - Esta forma é útil para estudar o limite
e verificar que (fácil de checar usando limites conhecidos de em ).
Resposta
ou, de forma fechada,
que é equivalente à forma alternativa