Usando (6), obtenha a solução de (1) na forma de integral satisfazendo à condição inicial u(x, 0)=f(x) onde:
f(x)=e^{-k|x|}(k>0)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (resumo claro):
  • Pede-se obter a solução de (1) usando a fórmula (6) e que essa solução satisfaça a condição inicial
u(x,0)=f(x),
com
f(x)=e^{-k|x|},\qquad k>0.
  • Não há outras informações explícitas sobre (1) e (6) no enunciado, então vou usar a forma usual em que (6) é a representação integral da solução do problema de Cauchy para a equação do calor em \mathbb{R}:
\text{(6)}\quad u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(x-y,t)\,f(y)\,dy,
onde
G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-x^2/(4t)}
é o núcleo fundamental (núcleo gaussiano) do calor.
  • O enunciado pede a solução “na forma de integral” — portanto produzirei primeiro a forma convolucional (usando (6)) e em seguida avaliarei explicitamente essa integral para f(y)=e^{-k|y|}.

Passo 2

Esclarecendo a fórmula que vamos usar e por que ela é apropriada (explicação didática curta):
  • A fórmula
u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-(x-y)^2/(4t)}\,f(y)\,dy
é a solução do problema de Cauchy para a equação do calor com condição inicial u(x,0)=f(x). Aqui:
  • u(x,t) é a solução procurada;
  • t>0 é o tempo;
  • x\in\mathbb{R} é a posição;
  • G(x-y,t)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-(x-y)^2/(4t)} é o núcleo gaussiano que faz a “média ponderada” da condição inicial.
  • Portanto, simplesmente substituímos f(y)=e^{-k|y|} na convolução acima.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a forma integral com f(y)=e^{-k|y|}:
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-y)^2/(4t)}\,e^{-k|y|}\,dy.
Essa é a resposta em forma de integral (convolução). Agora vamos avaliar essa integral em forma explícita usando divisão em duas partes (porque |y| muda em y=0).

Passo 4

Separando a integral em y<0 e y>0 (passo técnico e didático):
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\Bigg(\int_{-\infty}^{0}e^{-(x-y)^2/(4t)}e^{k y}\,dy+\int_{0}^{\infty}e^{-(x-y)^2/(4t)}e^{-k y}\,dy\Bigg).
Explicação rápida: para y<0 tem-se |y|=-y então e^{-k|y|}=e^{k y}; para y>0 tem-se e^{-k|y|}=e^{-k y}.

Passo 5

Avaliação das integrais por completar o quadrado — método padrão para gaussianas multiplicadas por exponencial linear:
  • Para a integral sobre (0,\infty) (chamei de I_+):
    comece com o expoente -(x-y)^2/(4t)-k y.Reescrevendo e completando o quadrado (mostrando os passos): -(x-y)^2/(4t)-k y = -\frac{1}{4t}\Big(y^2-2x y+x^2+4k t y\Big) = -\frac{1}{4t}\Big[(y-(x-2kt))^2 - (x-2kt)^2 + x^2\Big].Assim -(x-y)^2/(4t)-k y = -\frac{(y-(x-2kt))^2}{4t} -k(x-k t).Portanto \int_{0}^{\infty}e^{-(x-y)^2/(4t)}e^{-k y}\,dy = e^{-k(x- k t)}\int_{0}^{\infty}e^{-(y-(x-2kt))^2/(4t)}\,dy.
  • Para a integral sobre (-\infty,0) (chamei de I_-):
    comece com -(x-y)^2/(4t)+k y = -\frac{1}{4t}\Big(y^2-2x y+x^2-4k t y\Big) = -\frac{(y-(x+2kt))^2}{4t} + k(x+ k t).Logo \int_{-\infty}^{0}e^{-(x-y)^2/(4t)}e^{k y}\,dy = e^{k(x+ k t)}\int_{-\infty}^{0}e^{-(y-(x+2kt))^2/(4t)}\,dy.

Passo 6

Expressão das integrais gaussianas em termos da função erro (erf/erfc):
  • Usar a mudança de variável padrão s=\dfrac{y-a}{2\sqrt{t}} para integrar \int e^{-(y-a)^2/(4t)}dy. Recordando a relação \int_{z}^{\infty}e^{-s^2}ds=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\mathrm{erfc}(z),\qquad \int_{-\infty}^{z}e^{-s^2}ds=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\,\big(1+\mathrm{erf}(z)\big),e que \mathrm{erfc}(z)=1-\mathrm{erf}(z).
  • Aplicando isso aos nossos termos obtemos, após simplificar o fator \dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}\cdot\sqrt{\pi t}=\dfrac{1}{2}, a forma fechada: u(x,t)=\frac{1}{2}\,e^{k(x+k t)}\,\mathrm{erfc}\!\Big(\frac{x+2k t}{2\sqrt{t}}\Big) +\frac{1}{2}\,e^{-k(x-k t)}\,\mathrm{erfc}\!\Big(-\frac{x-2k t}{2\sqrt{t}}\Big).

Passo 7

Simplificar a expressão usando \mathrm{erfc}(-z)=2-\mathrm{erfc}(z) para uma forma alternativa e um pouco mais simétrica:
  • Aplicando a identidade \mathrm{erfc}(-z)=2-\mathrm{erfc}(z) ao segundo termo dá u(x,t)=e^{-k(x-k t)}+\frac{1}{2}\Bigg[e^{k(x+k t)}\mathrm{erfc}\!\Big(\frac{x+2k t}{2\sqrt{t}}\Big) -e^{-k(x-k t)}\mathrm{erfc}\!\Big(\frac{x-2k t}{2\sqrt{t}}\Big)\Bigg].
  • Esta forma é útil para estudar o limite t\to0^+ e verificar que u(x,0)=e^{-k|x|} (fácil de checar usando limites conhecidos de \mathrm{erfc} em \pm\infty).

Resposta

u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-y)^2/(4t)}\,e^{-k|y|}\,dy
ou, de forma fechada,
u(x,t)=\frac{1}{2}\,e^{k(x+k t)}\,\mathrm{erfc}\!\Big(\frac{x+2k t}{2\sqrt{t}}\Big) +\frac{1}{2}\,e^{-k(x-k t)}\,\mathrm{erfc}\!\Big(-\frac{x-2k t}{2\sqrt{t}}\Big),
que é equivalente à forma alternativa
u(x,t)=e^{-k(x-k t)}+\frac{1}{2}\Bigg[e^{k(x+k t)}\mathrm{erfc}\!\Big(\frac{x+2k t}{2\sqrt{t}}\Big) -e^{-k(x-k t)}\mathrm{erfc}\!\Big(\frac{x-2k t}{2\sqrt{t}}\Big)\Bigg].

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