Usando operações elementares, determine a inversa de
C=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
C = \begin{pmatrix}2 & 1 \\[6pt] 5 & 3\end{pmatrix}
e pede sua inversa usando operações elementares de linha (eliminação de Gauss–Jordan). Vamos montar a matriz aumentada [C\mid I] e reduzi-la a [I\mid C^{-1}].]

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
\bigl[C\mid I\bigr] = \left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 1 & 1 & 0 \\[3pt] 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Queremos fazer o pivô (1,1) igual a 1 e zerar abaixo:
  1. Dividimos a linha 1 por 2:
L_{1}\leftarrow \tfrac{1}{2}L_{1} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac12 & \tfrac12 & 0 \\[3pt] 5 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right].
  1. Zeramos o elemento em (2,1) com
L_{2}\leftarrow L_{2}-5\,L_{1} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac12 & \tfrac12 & 0 \\[3pt] 0 & \tfrac12 & -\tfrac52 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora normalizamos o pivô em (2,2) e zeramos acima:
  1. Dividimos a linha 2 por \tfrac12:
L_{2}\leftarrow 2\,L_{2} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & \tfrac12 & \tfrac12 & 0 \\[3pt] 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right].
  1. Zeramos o elemento em (1,2) com
L_{1}\leftarrow L_{1}-\tfrac12\,L_{2} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -1 \\[3pt] 0 & 1 & -5 & 2 \end{array}\right].
Agora a parte esquerda é a identidade e a parte direita é C^{-1}.]

Resposta

C^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -1 \\[6pt] -5 & 2\end{pmatrix}.]

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