Utilize o método de operações elementares para decidir se as matrizes abaixo são inversíveis:
(b) \left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}
é invertível usando operações elementares. A ideia é aplicar eliminação de Gauss para checar se obtemos pivôs não nulos em todas as três colunas, o que garante posto completo e, portanto, invertibilidade.

Passo 2

Usamos o pivô a_{11}=2 para zerar o elemento abaixo na primeira coluna. Fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_1.
Calculando cada componente,
R_2 = (1,3,4) - \tfrac{1}{2}(2,-1,0) = \bigl(0,\tfrac{7}{2},4\bigr).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & \tfrac{7}{2} & 4 \\\\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora o pivô na posição (2,2) é a_{22}=\tfrac{7}{2}\neq0. Usamos esse pivô para zerar o elemento abaixo na segunda coluna:
R_3 \leftarrow R_3 - \frac{2}{7/2}\,R_2 = R_3 - \tfrac{4}{7}R_2.
Assim,
R_3 = (0,2,5) - \tfrac{4}{7}(0,\tfrac{7}{2},4) = (0,0,\tfrac{19}{7}).
Obtemos a forma triangular superior
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & \tfrac{7}{2} & 4 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{19}{7} \end{pmatrix}.

Passo 4

O último pivô a_{33}=\tfrac{19}{7} também é diferente de zero. Logo, há três pivôs não nulos em uma matriz 3\times3, o que implica posto completo igual a 3 e, portanto, invertibilidade de A.

Resposta

A matriz é invertível.

Exercícios relacionados