Usando o Príncípio da Boa Ordenação para provar que dados numeros inteiros positívos a e b existe n tal que b . n \geq a.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o Princípio da Boa Ordenação, que dados a,b\in\mathbb{Z}^+ existe n\in\mathbb{N} tal que b\,n\ge a. O conteúdo é aplicar o Princípio da Boa Ordenação (que garante que todo subconjunto não vazio de \mathbb{N}_0 tem menor elemento) a um conjunto bem escolhido para extrair n.

Passo 2

Considere o conjunto
T = \{\,a - m\,b \mid m\in\mathbb{N}_0,\\ a - m\,b \ge 0\}.
Esse T é subconjunto de \mathbb{N}_0 e é não vazio pois, para m=0, tem a - 0\cdot b = a\ge0.

Passo 3

Pela Boa Ordenação de \mathbb{N}_0, T tem um menor elemento. Seja
r = a - q\,b
o mínimo de T, com q\in\mathbb{N}_0 e r\ge0.

Passo 4

Mostramos que r<b. Se por absurdo r\ge b, então
r - b = a - q\,b - b = a - (q+1)b \ge 0,
então r-b\in T e r-b<r, contradizendo a minimalidade de r. Logo 0\le r < b.

Passo 5

Há dois casos:
– Se r=0, então a = q\,b e basta tomar n=q, pois b\,n = a \ge a.
– Se 0<r<b, então a = q\,b + r < q\,b + b, ou seja,
b\,(q+1) > a,
portanto b\,(q+1)\ge a. Basta tomar n=q+1.

Resposta

Em ambos os casos encontramos n\in\mathbb{N} tal que b\,n\ge a.

Exercícios relacionados