Usando o Príncípio da Boa Ordenação para provar que dados numeros inteiros positívos
e
existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o Princípio da Boa Ordenação, que dados
existe
tal que
. O conteúdo é aplicar o Princípio da Boa Ordenação (que garante que todo subconjunto não vazio de
tem menor elemento) a um conjunto bem escolhido para extrair
.
Passo 2
Considere o conjunto
Esse
é subconjunto de
e é não vazio pois, para
, tem
.
Passo 3
Pela Boa Ordenação de
,
tem um menor elemento. Seja
o mínimo de
, com
e
.
Passo 4
Mostramos que
. Se por absurdo
, então
então
e
, contradizendo a minimalidade de
. Logo
.
Passo 5
Há dois casos:
– Se , então
e basta tomar
, pois
.
– Se , então
, ou seja,
– Se
– Se
portanto
. Basta tomar
.
Resposta
Em ambos os casos encontramos
tal que
.