Se a, b, c \in \mathbb{Z} prove que
(e) Se a<b, então a+c<b+c.

Passo 1

O enunciado afirma que para quaisquer a,b,c\in\mathbb{Z} vale a implicação
\text{se }a<b\text{ então }a+c<b+c.ã
O conteúdo que vamos usar é a definição de desigualdade em \mathbb{Z}: dizemos x<y se, e somente se, existe um inteiro positivo k tal que y=x+k.

Passo 2

Suponha a<b.
Pela definição de ordem em \mathbb{Z}, existe um inteiro k>0 tal que
b = a + k.

Passo 3

Adicionamos c aos dois lados da igualdade b = a + k. Assim,
b + c = (a + k) + c.
Como a adição em \mathbb{Z} é comutativa e associativa, podemos reescrever
b + c = a + c + k = (a + c) + k.

Passo 4

Percebemos que (a+c)+k é exatamente a forma que caracteriza a desigualdade (a+c)<(b+c), pois k>0. Logo, pela definição de ordem em \mathbb{Z}, concluímos
a + c < b + c.

Resposta

Foi demonstrado que, sempre que a<b em \mathbb{Z}, então a+c<b+c.

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