Usando o Príncípio da Boa Ordenação para provar que dados numeros inteiros positívos
e
existe
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando o Princípio da Boa Ordenação, que dados inteiros positivos
e
existe um inteiro
tal que
O Princípio da Boa Ordenação diz que toda parte não–vazia de
tem um menor elemento. Vamos construir um conjunto apropriado e aplicar esse princípio.
Passo 2
Definimos o conjunto
Em palavras, pego todas as diferenças
correspondentes a valores de
para os quais
ainda é menor que
.
Passo 3
Verificamos que
. De fato, para
temos
, logo
é um elemento de
. Como
,
tem pelo menos esse elemento.
Passo 4
Pelo Princípio da Boa Ordenação,
tem um menor elemento. Chamemos
Então existe algum
com
tal que
e, para todo
com
,
Passo 5
Como
é o menor elemento de
e
, se fosse
então
seria ainda positivo e corresponderia a um elemento de
menor que
, o que contradiz a minimalidade de
. Portanto
Passo 6
Da desigualdade
temos
Isso mostra que, tomando
, obtemos
que é exatamente o que queríamos.
Resposta
Tomando
, onde
vem da aplicação do Princípio da Boa Ordenação ao conjunto
, garantimos que
.