Usando o Príncípio da Boa Ordenação para provar que dados numeros inteiros positívos a e b existe n tal que b . n \geq a.

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando o Princípio da Boa Ordenação, que dados inteiros positivos a e b existe um inteiro n\ge0 tal que
b\cdot n \ge a.
O Princípio da Boa Ordenação diz que toda parte não–vazia de \mathbb{N} tem um menor elemento. Vamos construir um conjunto apropriado e aplicar esse princípio.

Passo 2

Definimos o conjunto
S = \{\,a - b\cdot n \mid n\in \mathbb{N},\;b\cdot n < a\}.
Em palavras, pego todas as diferenças a - b\,n correspondentes a valores de n para os quais b\,n ainda é menor que a.

Passo 3

Verificamos que S\neq\emptyset. De fato, para n=0 temos b\cdot0=0<a, logo
a - b\cdot0 = a
é um elemento de S. Como a>0, S tem pelo menos esse elemento.

Passo 4

Pelo Princípio da Boa Ordenação, S tem um menor elemento. Chamemos
m = \min S.
Então existe algum n_0\in\mathbb{N} com b\,n_0<a tal que
m = a - b\,n_0
e, para todo n com b\,n<a,
a - b\,n \ge m.

Passo 5

Como m é o menor elemento de S e m>0, se fosse m>b então
m - b = (a - b\,n_0) - b = a - b\,(n_0+1)
seria ainda positivo e corresponderia a um elemento de S menor que m, o que contradiz a minimalidade de m. Portanto m \le b.

Passo 6

Da desigualdade m \le b temos
a - b\,n_0 \le b \quad\Longrightarrow\quad a \le b\,n_0 + b \quad\Longrightarrow\quad a \le b\,(n_0 + 1).
Isso mostra que, tomando n = n_0 + 1, obtemos
b\cdot n = b\,(n_0+1) \ge a,
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

Tomando n=n_0+1, onde n_0 vem da aplicação do Princípio da Boa Ordenação ao conjunto S, garantimos que b\cdot n \ge a.

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