Prove que
e
Passo 1
O enunciado pede para provar que
e
no contexto dos números reais vistos como corpo ordenado. Vamos usar o axioma que garante a existência de um subconjunto de elementos “positivos”
tal que:
- se
então e , - para todo
vale exatamente um dos casos: , ou .
Além disso, usaremos o fato derivado de que, se
, então
.
Passo 2
Demonstração do lema “para todo
,
”.
Como , ou
ou
. Se
, então pelo fechamento de
sob produto temos
. Se
, então
. Em ambos os casos
Como
Passo 3
Aplicando o lema a
: sabemos pelo axioma de corpo que
, então
Como
, concluímos
Passo 4
Em todo corpo ordenado, o inverso aditivo de um número positivo é negativo. Ou seja, se
então
. Aplicando com
obtemos imediatamente
Resposta
Foi provado que
e que, por inverso aditivo,
.