Prove que 1>0 e -1<0

Passo 1

O enunciado pede para provar que \,1>0 e -1<0 no contexto dos números reais vistos como corpo ordenado. Vamos usar o axioma que garante a existência de um subconjunto de elementos “positivos” P\subset\mathbb{R} tal que:
  • se x,y\in P então x+y\in P e x\,y\in P,
  • para todo x\in\mathbb{R} vale exatamente um dos casos: x\in P, x=0 ou -x\in P.
Além disso, usaremos o fato derivado de que, se x\neq0, então x^2>0.

Passo 2

Demonstração do lema “para todo x\neq0, x^2>0”.
Como x\neq0, ou x\in P ou -x\in P. Se x\in P, então pelo fechamento de P sob produto temos x^2=x\cdot x\in P. Se -x\in P, então (-x)(-x)=x^2\in P. Em ambos os casos
x^2>0.

Passo 3

Aplicando o lema a x=1: sabemos pelo axioma de corpo que 1\neq0, então
1^2>0.
Como 1^2=1, concluímos 1>0.

Passo 4

Em todo corpo ordenado, o inverso aditivo de um número positivo é negativo. Ou seja, se x>0 então -x<0. Aplicando com x=1 obtemos imediatamente
-1<0.

Resposta

Foi provado que \,1>0 e que, por inverso aditivo, -1<0.

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