Usando substituição, mostre que que:
\int \operatorname{sec} (x) d x=\ln (|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec} (x)|)+c

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: temos a integral \displaystyle \int \operatorname{sec}(x)\,dx e precisamos mostrar que ela é igual a \displaystyle \ln\bigl(|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)|\bigr)+c. Informação relevante: as funções envolvidas são \operatorname{sec}(x) e \operatorname{tg}(x) (tan), e vamos usar substituição para resolver a integral. Não começamos a resolver ainda; só identifiquei o dado e a meta.

Passo 2

Ideia da técnica de substituição que vamos usar (explicação didática): às vezes a integral tem a forma de uma função cuja derivada aparece multiplicando-a dentro da integral. Nesse caso, se conseguirmos colocar no numerador algo igual a \frac{d}{dx} de uma expressão que aparece no denominador (ou vice‑versa), a substituição u= essa expressão transforma a integral em \int \frac{du}{u}, que é \ln|u|+C. Aqui a pista clássica é multiplicar a função por 1 escrita como \dfrac{\operatorname{sec} x+\operatorname{tg}x}{\operatorname{sec} x+\operatorname{tg}x} para criar exatamente a derivada de \operatorname{sec} x+\operatorname{tg}x no numerador. Vou explicar por que isso funciona.

Passo 3

Derivadas que precisamos conhecer (mini‑aula): a derivada de \operatorname{tg}(x) é \operatorname{sec}^2(x), isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}(x)\bigr)=\operatorname{sec}^2(x),
e a derivada de \operatorname{sec}(x) é \operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x), isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)=\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x).
Essas fórmulas vêm diretamente da definição e da regra do quociente/identidades trigonométricas, mas aqui vamos usá‑las sem recalcular. Agora calculemos a derivada da soma \operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x):
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)\bigr)=\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}^2(x)=\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)\bigr).
Note como aparece \operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)\bigr): isso sugere que se no numerador tivermos exatamente esse produto, a substituição será perfeita.

Passo 4

Aplicando o truque prático: multiplicamos a integral por 1 na forma indicada e reescrevemos:
\int \operatorname{sec}(x)\,dx =\int \operatorname{sec}(x)\cdot\frac{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)}{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)}\,dx =\int \frac{\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)\bigr)}{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)}\,dx.
Agora reconhecemos no numerador a derivada da soma \operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x) que calculamos no passo anterior.

Passo 5

Fazemos a substituição explícita: defina
u=\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x).
Então, usando a derivada do passo 3,
du=\bigl(\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}^2(x)\bigr)\,dx =\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)\bigr)\,dx.
Repare que o lado direito é exatamente o numerador da integral que obtivemos no passo anterior, ou seja,
\operatorname{sec}(x)\bigl(\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)\bigr)\,dx=du.
Portanto a integral fica
\int \frac{du}{u}.

Passo 6

Integração da forma \int \dfrac{du}{u} (mini‑aula): sabemos que a integral de 1/u em relação a u é o logaritmo natural com valor absoluto:
\int \frac{du}{u}=\ln\bigl(|u|\bigr)+c,
pois a derivada de \ln|u| é 1/u. Aplicando isso ao nosso caso,
\int \frac{du}{u}=\ln\bigl(|u|\bigr)+c.

Passo 7

Voltando à variável original: substituímos u=\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x) de volta:
\ln\bigl(|u|\bigr)+c=\ln\bigl(|\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)|\bigr)+c.
Como a soma é comutativa, podemos escrever também \ln\bigl(|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)|\bigr)+c, que é a forma pedida.

Passo 8

Verificação (cheque rápido): diferenciar o resultado para confirmar:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)|\bigr) =\frac{\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}^2(x)}{\operatorname{sec}(x)+\operatorname{tg}(x)} =\operatorname{sec}(x),
que é exatamente o integrando original. Tudo confere.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl(|\operatorname{tg}(x)+\operatorname{sec}(x)|\bigr)+c

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