Usando substituição, mostre que que:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: temos a integral
e precisamos mostrar que ela é igual a
. Informação relevante: as funções envolvidas são
e
(tan), e vamos usar substituição para resolver a integral. Não começamos a resolver ainda; só identifiquei o dado e a meta.
Passo 2
Ideia da técnica de substituição que vamos usar (explicação didática): às vezes a integral tem a forma de uma função cuja derivada aparece multiplicando-a dentro da integral. Nesse caso, se conseguirmos colocar no numerador algo igual a
de uma expressão que aparece no denominador (ou vice‑versa), a substituição
essa expressão transforma a integral em
, que é
. Aqui a pista clássica é multiplicar a função por
escrita como
para criar exatamente a derivada de
no numerador. Vou explicar por que isso funciona.
Passo 3
Derivadas que precisamos conhecer (mini‑aula): a derivada de
é
, isto é,
e a derivada de
é
, isto é,
Essas fórmulas vêm diretamente da definição e da regra do quociente/identidades trigonométricas, mas aqui vamos usá‑las sem recalcular. Agora calculemos a derivada da soma
:
Note como aparece
: isso sugere que se no numerador tivermos exatamente esse produto, a substituição será perfeita.
Passo 4
Aplicando o truque prático: multiplicamos a integral por
na forma indicada e reescrevemos:
Agora reconhecemos no numerador a derivada da soma
que calculamos no passo anterior.
Passo 5
Fazemos a substituição explícita: defina
Então, usando a derivada do passo 3,
Repare que o lado direito é exatamente o numerador da integral que obtivemos no passo anterior, ou seja,
Portanto a integral fica
Passo 6
Integração da forma
(mini‑aula): sabemos que a integral de
em relação a
é o logaritmo natural com valor absoluto:
pois a derivada de
é
. Aplicando isso ao nosso caso,
Passo 7
Voltando à variável original: substituímos
de volta:
Como a soma é comutativa, podemos escrever também
, que é a forma pedida.
Passo 8
Verificação (cheque rápido): diferenciar o resultado para confirmar:
que é exatamente o integrando original. Tudo confere.