• Problema 5. Calcule:
\int \operatorname{sen}(a x) \operatorname{sen}(b x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sen}(a x)\,\operatorname{sen}(b x)\,dx.
Informações dadas (pressupostas): a e b são constantes reais. A tarefa é encontrar uma antiderivada (ou família de antiderivadas) da função x\mapsto \operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(b x). Não foram dadas restrições sobre a e b, portanto precisaremos considerar separadamente os casos em que aparecem divisões por zero nas fórmulas (por exemplo a=b ou a=-b).

Passo 2

Primeira ferramenta essencial: uma identidade que transforma produto de senos em soma de cossenos. Vou provar essa identidade de forma simples usando fórmulas do cosseno (isso é útil porque integrar cossenos é direto).
As fórmulas de soma e diferença para o cosseno são
\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v
e
\cos(u+v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v.
Subtraindo as duas igualdades obtemos
\cos(u-v)-\cos(u+v)=2\sin u\sin v.
Isolando o produto de senos:
\sin u\sin v=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(u-v)-\cos(u+v)\bigr).
Aplicando u=ax e v=bx temos a identidade que vamos usar:
\operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(b x)=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((a-b)x)-\cos((a+b)x)\bigr).

Passo 3

Agora substituímos essa identidade dentro da integral:
\int \operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(b x)\,dx =\tfrac{1}{2}\int \cos((a-b)x)\,dx \;-\; \tfrac{1}{2}\int \cos((a+b)x)\,dx.
A integral ficou em termos de cossenos com argumentos lineares, que são fáceis de integrar.

Passo 4

Regra básica de integração usada: para constante k\neq 0 vale
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+C,
porque se derivarmos \frac{1}{k}\sin(kx) obtemos \cos(kx) (derivada de \sin(kx) é k\cos(kx), o fator 1/k cancela o k).
Aplicando essa regra aos dois termos, assumindo provisoriamente que a-b\neq 0 e a+b\neq 0, obtemos
\int \operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(b x)\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{a-b}\sin((a-b)x)\;-\;\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{a+b}\sin((a+b)x)+C.
Ou, de forma mais limpa,
\boxed{\int \operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(b x)\,dx = \frac{1}{2(a-b)}\sin((a-b)x)-\frac{1}{2(a+b)}\sin((a+b)x)+C,}
válida quando a\neq b e a\neq -b (isto é, a\pm b\neq 0).

Passo 5

Precisamos tratar as exceções onde a fórmula acima usa divisão por zero: a=b (então a-b=0) e a=-b (então a+b=0). Vou resolver esses casos separadamente por métodos apropriados e didáticos.

Passo 6

Se a=b então o integrando é \operatorname{sen}^2(a x). Use a identidade de redução
\sin^2 t=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2t)\bigr).
Aplicando com t=ax:
\int \sin^2(ax)\,dx=\int \tfrac{1}{2}\,dx-\tfrac{1}{2}\int \cos(2ax)\,dx.
Integrando cada termo:
\int \tfrac{1}{2}\,dx=\tfrac{x}{2}, \qquad \int \cos(2ax)\,dx=\frac{1}{2a}\sin(2ax).
Portanto
\int \sin^2(ax)\,dx=\tfrac{x}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{2a}\sin(2ax)+C =\tfrac{x}{2}-\frac{\sin(2ax)}{4a}+C.

Passo 7

Se a=-b então \operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(b x)=\operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(-a x)=-\sin^2(ax) (pois \sin(-u)=-\sin u). Assim
\int \operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(-a x)\,dx =-\int \sin^2(ax)\,dx.
Usando o resultado do passo anterior,
-\int \sin^2(ax)\,dx=-\left(\tfrac{x}{2}-\frac{\sin(2ax)}{4a}\right)+C =-\tfrac{x}{2}+\frac{\sin(2ax)}{4a}+C.

Passo 8

Se um dos parâmetros for zero, por exemplo a=0, então \operatorname{sen}(a x)=0 para todo x e a integral é simplesmente uma constante:
\int 0\,dx = C.
Observação: os resultados gerais já são consistentes com esses casos quando as substituições são feitas corretamente (exceto quando aparecem denominadores zero, que já tratamos).

Resposta

\text{Se }a\neq \pm b:\quad \int \operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(b x)\,dx = \frac{1}{2(a-b)}\sin((a-b)x)-\frac{1}{2(a+b)}\sin((a+b)x)+C
\text{Se }a=b:\quad \int \operatorname{sen}^2(a x)\,dx = \frac{x}{2}-\frac{\sin(2ax)}{4a}+C
\text{Se }a=-b:\quad \int \operatorname{sen}(a x)\operatorname{sen}(-a x)\,dx = -\frac{x}{2}+\frac{\sin(2ax)}{4a}+C

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