- Problema 5. Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas (pressupostas):
e
são constantes reais. A tarefa é encontrar uma antiderivada (ou família de antiderivadas) da função
. Não foram dadas restrições sobre
e
, portanto precisaremos considerar separadamente os casos em que aparecem divisões por zero nas fórmulas (por exemplo
ou
).
Passo 2
Primeira ferramenta essencial: uma identidade que transforma produto de senos em soma de cossenos. Vou provar essa identidade de forma simples usando fórmulas do cosseno (isso é útil porque integrar cossenos é direto).
As fórmulas de soma e diferença para o cosseno são
e
Subtraindo as duas igualdades obtemos
Isolando o produto de senos:
Aplicando
e
temos a identidade que vamos usar:
Passo 3
Agora substituímos essa identidade dentro da integral:
A integral ficou em termos de cossenos com argumentos lineares, que são fáceis de integrar.
Passo 4
Regra básica de integração usada: para constante
vale
porque se derivarmos
obtemos
(derivada de
é
, o fator
cancela o
).
Aplicando essa regra aos dois termos, assumindo provisoriamente que
e
, obtemos
Ou, de forma mais limpa,
válida quando
e
(isto é,
).
Passo 5
Precisamos tratar as exceções onde a fórmula acima usa divisão por zero:
(então
) e
(então
). Vou resolver esses casos separadamente por métodos apropriados e didáticos.
Passo 6
Se
então o integrando é
. Use a identidade de redução
Aplicando com
:
Integrando cada termo:
Portanto
Passo 7
Se
então
(pois
). Assim
Usando o resultado do passo anterior,
Passo 8
Se um dos parâmetros for zero, por exemplo
, então
para todo
e a integral é simplesmente uma constante:
Observação: os resultados gerais já são consistentes com esses casos quando as substituições são feitas corretamente (exceto quando aparecem denominadores zero, que já tratamos).