Usando um produto vetorial, obtenha as coordenadas de um vetor u que:
seja unitário, |u|=1
seja ortogonal aos vetores a=(3,-1,5) e b=(1,2,-3)
que forme um ângulo agudo com o eixo Ox.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as coordenadas de um vetor u que seja unitário (ou seja, com comprimento igual a 1), que seja ortogonal aos vetores a=(3,-1,5) e b=(1,2,-3), e que forme um ângulo agudo com o eixo Ox. Para resolver isso, vamos usar o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar vetores ortogonais, e depois vamos ajustar o vetor para ser unitário e verificar o ângulo com o eixo Ox.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a a quanto a b. Isso a gente consegue calculando o produto vetorial desses dois vetores, que resulta em um vetor perpendicular a ambos.

Passo 3

O produto vetorial de dois vetores a=(a1,a2,a3) e b=(b1,b2,b3) é dado por:
a times b = ( a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1 )
Isso vai nos dar as coordenadas do vetor ortogonal.

Passo 4

Vamos calcular:
a times b = ( (-1)(-3) - 5(2), 5(1) - 3(-3), 3(2) - (-1)(1) )
Simplificando:
a times b = ( 3 - 10, 5 + 9, 6 + 1 ) = (-7, 14, 7)
Então, o vetor ortogonal é (-7, 14, 7).

Passo 5

Agora, precisamos que esse vetor seja unitário. Para isso, a gente divide cada componente pelo módulo do vetor. O módulo de v=(-7, 14, 7) é:
|v| = raiz(-7)^2 + 14^2 + 7^2 = raiz49 + 196 + 49 = raiz294 = 7raiz6
Então, o vetor unitário u é:
u = 17raiz6, (-7, 14, 7) = ( -1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 )

Passo 6

Por último, vamos verificar se esse vetor forma um ângulo agudo com o eixo Ox. O eixo Ox é representado pelo vetor (1,0,0). O ângulo é agudo se o produto escalar for positivo. O produto escalar é:
u cdot (1,0,0) = -1raiz6 times 1 + 2raiz6 times 0 + 1raiz6 times 0 = -1raiz6
Como é negativo, precisamos pegar o vetor oposto para ter um ângulo agudo. Então, multiplicamos por -1:
u = ( 1raiz6, -2raiz6, -1raiz6 )

Resposta

O vetor u é ( dfrac1raiz6, -dfrac2raiz6, -dfrac1raiz6 ).

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