Os vetores são linearmente independentes. Verifique se também são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que os vetores são linearmente independentes. A gente precisa verificar se os vetores também são linearmente independentes. Vamos usar o conceito de independência linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Basicamente, não tem como escrever um vetor como combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, para os vetores :
Só tem a solução trivial .
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos vetores que queremos verificar: . Suponha que existam escalares tais que:
Vamos expandir essa expressão:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 4
Como [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) são linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação: então .
3. Da primeira equação: então .
Resposta
Como a única solução é a = b = c = 0 , os vetores u, u + v, u - v - w são linearmente independentes.