Os vetores u, v, w são linearmente independentes. Verifique se u, u+v, u-v-w também são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que os vetores u, v, w são linearmente independentes. A gente precisa verificar se os vetores u, u + v, u - v - w também são linearmente independentes. Vamos usar o conceito de independência linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Basicamente, não tem como escrever um vetor como combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, para os vetores u, v, w :
au + bv + cw = 0
Só tem a solução trivial a = b = c = 0 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores que queremos verificar: u, u + v, u - v - w . Suponha que existam escalares a, b, c tais que:
au + b(u + v) + c(u - v - w) = 0
Vamos expandir essa expressão:
au + bu + bv + cu - cv - cw = 0
Juntando os termos semelhantes:
(a + b + c)u + (b - c)v - cw = 0

Passo 4

Como [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}) são linearmente independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação: então .
    3. Da primeira equação: então .

Resposta

Como a única solução é a = b = c = 0 , os vetores u, u + v, u - v - w são linearmente independentes.

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