Calcule os angulos internos do triângulo com vértices A(1,2,1), B(3,-1,7) e C(7,4,-2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos um triângulo no espaço tridimensional com vértices nos pontos A(1,2,1) , B(3,-1,7) e C(7,4,-2) . Nosso objetivo é calcular os ângulos internos desse triângulo. Para isso, precisamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre vetores e o produto escalar.

Passo 2

Vamos começar calculando os vetores que representam os lados do triângulo. Um vetor entre dois pontos P(x1,y1,z1) e Q(x2,y2,z2) é dado por:
PQ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
Então, calculamos os vetores:
AB = (3-1, -1-2, 7-1) = (2, -3, 6)
AC = (7-1, 4-2, -2-1) = (6, 2, -3)
BC = (7-3, 4-(-1), -2-7) = (4, 5, -9)

Passo 3

Para encontrar os ângulos internos, usaremos a fórmula do produto escalar entre dois vetores, que é dada por:
u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta)
Onde:
  • u cdot v é o produto escalar dos vetores.
  • |u| e |v| são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.
Primeiro, calculamos o produto escalar e as magnitudes:
Para o ângulo em A , usamos os vetores AB e AC :
AB cdot AC = (2)(6) + (-3)(2) + (6)(-3) = 12 - 6 - 18 = -12
|AB| = raiz2^2 + (-3)^2 + 6^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7
|AC| = raiz6^2 + 2^2 + (-3)^2 = raiz36 + 4 + 9 = raiz49 = 7

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo thetaA em A :
-12 = 7 cdot 7 cdot cos(thetaA)
cos(thetaA) = -1249
thetaA = arccos(-1249) approx 112,2^circ
Repetimos esse processo para os ângulos em B e C .
Para o ângulo em B , usamos BA e BC :
BA = -AB = (-2, 3, -6)
BA cdot BC = (-2)(4) + (3)(5) + (-6)(-9) = -8 + 15 + 54 = 61
|BA| = 7 (mesmo que |AB|)
|BC| = raiz4^2 + 5^2 + (-9)^2 = raiz16 + 25 + 81 = raiz122 approx 11,05
cos(thetaB) = 617 cdot 11,05 approx 6177,35 approx 0,788
thetaB = arccos(0,788) approx 37,4^circ
Para o ângulo em C , usamos CA e CB :
CA = -AC = (-6, -2, 3)
CB = -BC = (-4, -5, 9)
CA cdot CB = (-6)(-4) + (-2)(-5) + (3)(9) = 24 + 10 + 27 = 61
|CA| = 7 (mesmo que |AC|)
|CB| = |BC| approx 11,05
cos(thetaC) = 617 cdot 11,05 approx 6177,35 approx 0,788
thetaC = arccos(0,788) approx 37,4^circ

Resposta

Os ângulos internos do triângulo são aproximadamente:
  • Em A : 112,2^circ
  • Em B : 37,4^circ
  • Em C : 37,4^circ

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