Use a transformada de Laplace para encontrar a solução do PVI dado.
y^prime prime-y=-20 de

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y''-y=-20,de, com y(0)=1 e y'(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos usar a propriedade de linearidade, as condições iniciais e a transformada de de.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que L[y''] = s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), L[y]=Y(s) e L[de. Assim obtemos:
(s^2Y(s)-s)-Y(s)=-20e^-3s
Agrupando em Y(s):
(s^2-1)Y(s)-s=-20e^-3s
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Y(s)=ss^2-1-20,e^-3ss^2-1

Passo 3

Para inverter, usamos que L^-1[s/(s^2-1)]=cosh t e L^-1[1/(s^2-1)]=sinh t. Além disso, a propriedade de deslocamento dá L^-1[e^-3sF(s)]=f(t-3)u(t-3). Então
y(t)=cosh t-20,sinh(t-3),u(t-3)

Resposta

y(t)=cosh(t)-20,u(t-3),sinh(t-3)

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