Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor dos seguintes limites:
lim x -infty raiz[3]1x^2-8

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando $ x $ tende a menos infinito da expressão $ \sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}} - 8} $. Isso envolve conhecimentos de limites no infinito e propriedades de funções radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com $ \frac{1}{x^{2}} $ quando $ x $ tende a menos infinito. Sabemos que $ x^{2} $ cresce sem limite quando $ x $ tende a infinito, então $ \frac{1}{x^{2}} $ vai se aproximando de zero.

Passo 3

Agora, substituímos esse comportamento na expressão original:
1x^2 - 8 approx 0 - 8 = -8
Então, a expressão dentro da raiz cúbica está se aproximando de -8.

Passo 4

Precisamos calcular a raiz cúbica de -8. Sabemos que $ \sqrt[3]{-8} = -2 $, pois $ (-2)^{3} = -8 $.

Resposta

Portanto, o limite é igual a -2.

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