Usando as propriedade e teoremas estudados, calcule se existir o valor dos seguintes limites:
lim x 1 Sen(x^3-1)x^2-1

Passo 1

A questão pede para calcular o limite limxto1sin(x^3-1)x^2-1. O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas e o uso do teorema fundamental limuto0sin uu=1, além de fatoração de polinômios para resolver forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, note que ao substituir x=1 diretamente, obtemos a forma indeterminada 0/0, pois x^3-1to0 e x^2-1to0.

Passo 3

Para usar o limite limuto0sin uu=1, reescrevemos a expressão multiplicando e dividindo por x^3-1:
sin(x^3-1)x^2-1 = sin(x^3-1)x^3-1;cdot;x^3-1x^2-1

Passo 4

Agora, fatoramos o numerador e o denominador da segunda fração:
x^3-1x^2-1 = (x-1)(x^2+x+1)(x-1)(x+1) = x^2+x+1x+1

Passo 5

Portanto, o limite se separa em dois fatores:
limxto1sin(x^3-1)x^3-1;times;limxto1x^2+x+1x+1

Passo 6

Pelo teorema fundamental, o primeiro limite vale 1. Para o segundo, basta substituir x=1:
1^2+1+11+1 = 32

Passo 7

Assim, o limite original é o produto 1timestfrac32=tfrac32.

Resposta

32

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