Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y)=\int_{0}^{x} \cos ^{2} t d t

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). O enunciado fornece a função
f(x,y)=\int_{0}^{x}\cos^{2}t\,dt.
As perguntas são: calcular as derivadas parciais de primeira ordem \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y). Observações úteis que já aparecem no enunciado:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando \cos^{2}t depende apenas de t, não de x nem de y explicitamente.
  • O limite inferior da integral é 0 e o limite superior é x (a variável x aparece como limite superior).
  • A função dada não mostra dependência explícita em y na expressão da integral.

Passo 2

Definição de derivada parcial (lembrete pedacinho a pedacinho).
  • A derivada parcial de f em relação a x é, por definição,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Isto mede como f muda quando só alteramos x, mantendo y fixo.
  • A derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k},
ou seja, mede como f muda quando só alteramos y, mantendo x fixo.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) usando o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para limite superior variável).
  • Teorema (forma prática): se G(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}g(t)\,dt e g é contínua, então G'(x)=g(x).
  • Aqui g(t)=\cos^{2}t. Como \cos^{2}t é contínua em todo \mathbb{R}, a hipótese do teorema está satisfeita.
  • Aplicando o teorema diretamente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\left(\int_{0}^{x}\cos^{2}t\,dt\right)=\cos^{2}x.
Para aceitar isso com mais intuição: usando a definição,
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}\cos^{2}t\,dt.
Como \cos^{2}t é contínua, quando h\to0 a média da função no intervalo [x,x+h] tende a \cos^{2}x, logo o limite é \cos^{2}x. Portanto \partial f/\partial x=\cos^{2}x.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).
  • Observe que a expressão dada para f(x,y) não contém y em nenhum lugar: o integrando e os limites dependem apenas de t e de x.
  • Para qualquer k,
f(x,y+k)-f(x,y)=\int_{0}^{x}\cos^{2}t\,dt-\int_{0}^{x}\cos^{2}t\,dt=0.
  • Logo, pelo limite da definição,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to0}\frac{0}{k}=0.

Passo 5

Checagem alternativa (integrar explicitamente e derivar para conferir).
  • Usando a identidade \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos(2t)}{2}, temos
\int_{0}^{x}\cos^{2}t\,dt=\int_{0}^{x}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt=\left[\frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4}\right]_{0}^{x}=\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}.
  • Derivando explicitamente em relação a x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}+\frac{\sin(2x)}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{\cos(2x)\cdot 2}{4}=\frac{1}{2}+\frac{\cos(2x)}{2}=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\cos^{2}x,
o que confirma o resultado obtido pelo Teorema Fundamental. E a derivada em relação a y continua sendo zero porque a expressão explícita não contém y.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\cos^{2}x
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0

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