Usando as propriedades, calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda). O enunciado fornece a função
As perguntas são: calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e
. Observações úteis que já aparecem no enunciado:
- A variável de integração é
. - O integrando
depende apenas de , não de nem de explicitamente. - O limite inferior da integral é
e o limite superior é (a variável aparece como limite superior). - A função dada não mostra dependência explícita em
na expressão da integral.
Passo 2
Definição de derivada parcial (lembrete pedacinho a pedacinho).
- A derivada parcial de
em relação a é, por definição,
Isto mede como
muda quando só alteramos
, mantendo
fixo.
- A derivada parcial em relação a
é
ou seja, mede como
muda quando só alteramos
, mantendo
fixo.
Passo 3
Cálculo de
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para limite superior variável).
- Teorema (forma prática): se
e é contínua, então . - Aqui
. Como é contínua em todo , a hipótese do teorema está satisfeita. - Aplicando o teorema diretamente:
Para aceitar isso com mais intuição: usando a definição,
Como
é contínua, quando
a média da função no intervalo
tende a
, logo o limite é
. Portanto
.
Passo 4
Cálculo de
.
- Observe que a expressão dada para
não contém em nenhum lugar: o integrando e os limites dependem apenas de e de . - Para qualquer
,
- Logo, pelo limite da definição,
Passo 5
Checagem alternativa (integrar explicitamente e derivar para conferir).
- Usando a identidade
, temos
- Derivando explicitamente em relação a
:
o que confirma o resultado obtido pelo Teorema Fundamental. E a derivada em relação a
continua sendo zero porque a expressão explícita não contém
.