Usando as propriedades das funções exponencial e logarítmica, simplifique as seguintes expressões:
a=e^{2 \ln (x)} para x>0

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão a = e^{2 \ln(x)} sabendo que x>0. Informações dadas:
  • A variável é x e a condição de domínio é x>0.
  • A expressão a simplificar é a = e^{2 \ln(x)}.

Passo 2

Propriedade útil (explicação): para qualquer x>0 e qualquer real k vale
\ln\big(x^{k}\big)=k\ln(x).
Justificativa rápida: escrevendo x=e^{\ln(x)} temos x^{k}=(e^{\ln(x)})^{k}=e^{k\ln(x)}. Aplicando \ln aos dois lados obtém-se \ln(x^{k})=k\ln(x).

Passo 3

Aplicando a propriedade com k=2 (e lembrando que x>0) obtemos
2\ln(x)=\ln\big(x^{2}\big).
Portanto a expressão inicial pode ser reescrita como
a=e^{2\ln(x)}=e^{\ln(x^{2})}.

Passo 4

Outra propriedade fundamental (explicação): para qualquer u>0 vale
e^{\ln(u)}=u,
porque a exponencial e o logaritmo natural são funções inversas. Aplicando isso com u=x^{2} (note que x^{2}>0 quando x>0) resulta
e^{\ln(x^{2})}=x^{2}.
Como verificação alternativa, também se pode ver e^{2\ln(x)}=(e^{\ln(x)})^{2}=x^{2}.

Passo 5

Conclusão final: a expressão simplifica-se para x^{2}. Exemplo numérico rápido para checar: se x=3 então e^{2\ln(3)}=e^{\ln(9)}=9=3^{2}.

Resposta

x^{2}

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