Usando as propriedades das funções exponencial e logarítmica, simplifique as seguintes expressões:
b=e^{x \ln (2)} para x \in \mathbb{R},

Passo 1

O enunciado dá a expressão b = e^{x \ln(2)} com x \in \mathbb{R} e pede para simplificá‑la.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável x é um número real ( x\in\mathbb{R}).
  • A expressão envolve a função exponencial de base e e o logaritmo natural \ln.
    A tarefa é reescrever b numa forma mais simples usando propriedades de exponencial e logaritmo.

Passo 2

Lembrando uma propriedade básica dos logaritmos: para qualquer base positiva a>0 (com a\neq1) e qualquer real x,
\ln\bigl(a^{x}\bigr)=x\ln(a).
Aqui, tomando a=2, obtemos
\ln\bigl(2^{x}\bigr)=x\ln(2).
Explicação curta e didática: o logaritmo transforma potências em produtos — o expoente sai na frente. Assim, escrever x\ln(2) é exatamente a mesma coisa que \ln(2^{x}).

Passo 3

Usando a igualdade do passo anterior, podemos reescrever o expoente de e na expressão dada:
e^{x\ln(2)} = e^{\ln\bigl(2^{x}\bigr)}.
Isso apenas substitui x\ln(2) por \ln(2^{x}), sem alterar o valor.

Passo 4

Agora usamos a propriedade de inversão entre exponencial e logaritmo natural: para todo y>0,
e^{\ln(y)} = y.
Essa propriedade vem do fato de que e^{(\cdot)} e \ln(\cdot) são funções inversas uma da outra (aplicar uma depois da outra retorna o número original), e o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, por isso a condição y>0.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao caso y=2^{x} (note que 2^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo a aplicação é válida), obtemos
e^{\ln\bigl(2^{x}\bigr)} = 2^{x}.
Portanto a expressão inicial pode ser simplificada para 2^{x}. Como verificação rápida: escolha x=3. A expressão original dá e^{3\ln 2}=e^{\ln(8)}=8, que coincide com 2^{3}=8.

Resposta

b=2^{x}

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