Usando as propriedades das funções exponencial e logarítmica, simplifique as seguintes expressões:
para
,
Passo 1
O enunciado dá a expressão
com
e pede para simplificá‑la.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável
é um número real ( ). - A expressão envolve a função exponencial de base
e o logaritmo natural .
A tarefa é reescrevernuma forma mais simples usando propriedades de exponencial e logaritmo.
Passo 2
Lembrando uma propriedade básica dos logaritmos: para qualquer base positiva
(com
) e qualquer real
,
Aqui, tomando
, obtemos
Explicação curta e didática: o logaritmo transforma potências em produtos — o expoente sai na frente. Assim, escrever
é exatamente a mesma coisa que
.
Passo 3
Usando a igualdade do passo anterior, podemos reescrever o expoente de
na expressão dada:
Isso apenas substitui
por
, sem alterar o valor.
Passo 4
Agora usamos a propriedade de inversão entre exponencial e logaritmo natural: para todo
,
Essa propriedade vem do fato de que
e
são funções inversas uma da outra (aplicar uma depois da outra retorna o número original), e o logaritmo natural só está definido para argumentos positivos, por isso a condição
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao caso
(note que
para todo
, logo a aplicação é válida), obtemos
Portanto a expressão inicial pode ser simplificada para
. Como verificação rápida: escolha
. A expressão original dá
, que coincide com
.