Prove que para cada função f dada, o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe. f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
onde a função dada é
f(x,y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} é negativa somente em (x,y)=(0,0); para (x,y)\neq(0,0) o denominador é positivo, portanto f está bem definida em todo ponto distinto de (0,0).
O objetivo declarado no enunciado é provar que o limite não existe. Vou analisar rigorosamente o comportamento de f quando (x,y) se aproxima de (0,0).
Passo 2
Primeiro vamos obter uma desigualdade que nos permita controlar o valor de f(x,y) em termos de \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Uma identidade algébrica simples é útil aqui. Note que, para quaisquer números reais x e y,
(x-y)^{2}\ge 0 \quad\text{e}\quad (x+y)^{2}\ge 0.
Da primeira vem
x^{2}+y^{2}\ge 2xy,
e da segunda
x^{2}+y^{2}\ge -2xy.
Combinando as duas desigualdades obtemos
x^{2}+y^{2}\ge 2|xy|,
ou seja
2|xy|\le x^{2}+y^{2}.
Essa desigualdade é o ingrediente que usaremos para limitar |f(x,y)|.
Passo 3
Usando a desigualdade do passo anterior, calculamos uma cota para o valor absoluto de f:
Como o lado direito e o lado esquerdo tendem a 0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) concluímos que f(x,y) também tende a 0.
Passo 5
Portanto o limite existe e é igual a 0. Escrevendo a conclusão de forma direta: