Prove que para cada função f dada, o \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) não existe.
f(x, y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
onde a função dada é
f(x,y)=\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} é negativa somente em (x,y)=(0,0); para (x,y)\neq(0,0) o denominador é positivo, portanto f está bem definida em todo ponto distinto de (0,0).
  • O objetivo declarado no enunciado é provar que o limite não existe. Vou analisar rigorosamente o comportamento de f quando (x,y) se aproxima de (0,0).

Passo 2

Primeiro vamos obter uma desigualdade que nos permita controlar o valor de f(x,y) em termos de \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Uma identidade algébrica simples é útil aqui. Note que, para quaisquer números reais x e y,
(x-y)^{2}\ge 0 \quad\text{e}\quad (x+y)^{2}\ge 0.
Da primeira vem
x^{2}+y^{2}\ge 2xy,
e da segunda
x^{2}+y^{2}\ge -2xy.
Combinando as duas desigualdades obtemos
x^{2}+y^{2}\ge 2|xy|,
ou seja
2|xy|\le x^{2}+y^{2}.
Essa desigualdade é o ingrediente que usaremos para limitar |f(x,y)|.

Passo 3

Usando a desigualdade do passo anterior, calculamos uma cota para o valor absoluto de f:
|f(x,y)|=\left|\frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|=\frac{|xy|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Pela desigualdade 2|xy|\le x^{2}+y^{2} temos
\frac{|xy|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Simplificando a fração do lado direito:
\frac{x^{2}+y^{2}}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}.
Portanto obtemos a estimativa válida para todo (x,y)\neq(0,0):
|f(x,y)|\le \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}.

Passo 4

Agora usemos o comportamento de \sqrt{x^{2}+y^{2}} quando (x,y)\to(0,0). É claro que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 \quad\text{quando}\quad (x,y)\to(0,0).
Pela desigualdade do passo anterior, temos para (x,y) próximos de (0,0) que
-|\,\tfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}\,|\le f(x,y)\le \tfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}.
Como o lado direito e o lado esquerdo tendem a 0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) concluímos que f(x,y) também tende a 0.

Passo 5

Portanto o limite existe e é igual a 0. Escrevendo a conclusão de forma direta:
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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