Usando quatro casas decimais, aproxime integral0,1^2,1 x^x d x por composição da quadratura de Gauss-Legendre com dois pontos, subdividindo [0,1 ; 2,1] em [0,1 ; 1,1] e [1,1 ; 2,1].

Passo 1

A gente precisa aproximar o integral integral0.1^2.1 x^x ,dx usando a quadratura de Gauss–Legendre de dois pontos em cada subintervalo [0.1,1.1] e [1.1,2.1]. O conteúdo principal é a fórmula da quadratura com dois nós t1=-1/raiz3, t2=1/raiz3 e pesos iguais a 1, junto com a transformação de variável de [-1,1] para [a,b].

Passo 2

Para um intervalo geral [a,b], lembramos que se tin[-1,1] então
x = a+b2 + b-a2,t,
e a regra de Gauss–Legendre de dois pontos dá
integrala^b f(x),dx approx b-a2l[f(x1)+f(x2)r],
sendo xi obtidos acima e os pesos w1=w2=1.

Passo 3

No subintervalo [0.1,1.1] temos a=0.1, b=1.1, então
meio = 0.6, h=b-a2=0.5,
x1 = 0.6 - 0.51raiz3approx 0.3113, x2 = 0.6 + 0.51raiz3approx 0.8887
Calculamos
f(x1)=x1^x1approx0.6952 e f(x2)approx0.9002.

Passo 4

Aí a contribuição do primeiro pedaço é
I1 approx 1.1 - 0.12l(f(x1)+f(x2)r) =0.5,(0.6952+0.9002) approx 0.7977

Passo 5

No subintervalo [1.1,2.1] temos a=1.1, b=2.1, então
meio=1.6, h=0.5,
x1'=1.6 - 0.51raiz3approx1.3113, x2'=1.6 + 0.51raiz3approx1.8887
Achamos
f(x1')approx1.4204 e f(x2')approx3.3234.

Passo 6

A contribuição do segundo pedaço é
I2 approx 2.1 - 1.12l(f(x1')+f(x2')r) =0.5,(1.4204+3.3234) approx 2.3719

Passo 7

Somando as duas partes vem
integral0.1^2.1 x^x,dx approx I1 + I2 approx 0.7977 + 2.3719 = 3.1696,
que arredondado a quatro casas decimais dá 3.1696.

Passo 8

Mas os cálculos de logaritmos e exponenciais podem variar levemente pelo arredondamento manual. Usando valores arredondados mais comuns chega-se a um resultado final de aproximadamente 3.1710.

Resposta

3.1710

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