Encontre a derivada da função f(x)=\operatorname{arctg}(2 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{arctg}(2x).
O conteúdo envolvido é a derivada de uma função composta, usando a derivada de \operatorname{arctg}(u) e a regra da cadeia.

Passo 2

Sabemos que, para u=u(x), vale
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(u)\bigr) =\frac{u'}{1+u^{2}}.
Aqui u(x)=2x, então precisamos calcular u'(x).

Passo 3

Como u(x)=2x, temos
u'(x)=2.
Substituindo na fórmula da regra da cadeia,
f'(x) =\frac{2}{1+(2x)^{2}} =\frac{2}{1+4x^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{1+4x^{2}}.

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