Usando-se como referência o E^{3}, a seguir foram feitas algumas afirmações, cada uma delas identificada por um numeral distinto.
  1. Ângulo é a região do plano determinada por duas semirretas de mesma origem.
  2. Duas retas distintas que são paralelas não formam ângulo.
  3. Duas retas reversas nunca formam ângulo.
  4. Duas retas ortogonais sempre formarão ângulo reto.
  5. Alguns textos/autores consideram como ângulo entre duas retas reversas r e s, como sendo o ângulo formado por suas projeções, mas isso é um equívoco, caso não seja devidamente explicado.
  6. O ângulo entre uma reta e um plano só poderá ser determinado quando essa reta for secante a esse plano.
  7. Para se medir o ângulo entre uma reta a e um plano \alpha, basta se medir o ângulo entre a e uma reta qualquer de \alpha.

Passo 1

O enunciado apresenta várias afirmações numeradas por potências de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64) sobre a definição e medição de ângulo em E^3. Nosso objetivo é identificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Como o código final deve ser a soma dos valores associados às afirmações verdadeiras, precisamos decidir, para cada numeral, se a afirmação é correta ou incorreta.

Passo 2

Analisando as afirmações sobre ângulo determinado por retas ou semirretas:
– A afirmação 1 diz que “ângulo é a região do plano determinada por duas semirretas de mesma origem”. Isto corresponde à definição clássica de ângulo: duas semirretas com ponto comum. Logo, 1 é verdadeira.
– A afirmação 2 diz que “duas retas distintas que são paralelas não formam ângulo”. Como retas paralelas não se encontram, não há semirretas concorrentes, e portanto não definem região angular no sentido clássico. Assim, 2 é verdadeira.
– A afirmação 4 diz que “duas retas reversas nunca formam ângulo”. Retas reversas são colineares mas orientadas em sentidos opostos, formando um ângulo de 180^\circ. Portanto, a afirmação é falsa.
– A afirmação 8 diz que “duas retas ortogonais sempre formarão ângulo reto”. Linhas ortogonais formam de fato 90^\circ, então 8 é verdadeira.

Passo 3

Examinando a afirmação 16:
“Alguns textos/autores consideram como ângulo entre duas retas reversas r e s o ângulo formado por suas projeções, mas isso é um equívoco, caso não seja devidamente explicado.”
De fato, tomar o ângulo entre reversas pela projeção muda o significado geométrico e pode levar a erro se não houver clareza. Logo, essa observação crítica está correta, e 16 é verdadeira.

Passo 4

Agora as afirmações sobre ângulo entre reta e plano:
– A afirmação 32 diz que “o ângulo entre uma reta e um plano só poderá ser determinado quando essa reta for secante a esse plano”. Isso é falso, pois mesmo uma reta paralela ao plano admite ângulo definido (é 0^\circ), usando sua projeção sobre o plano.
– A afirmação 64 diz que “para se medir o ângulo entre uma reta a e um plano \alpha, basta se medir o ângulo entre a e uma reta qualquer de \alpha”. Isto é falso: deve-se escolher a reta de \alpha que seja perpendicular à projeção de a no plano, não “qualquer” reta.

Resposta

Somando os numerais das afirmações verdadeiras (1, 2, 8 e 16) temos
1 + 2 + 8 + 16 = 27.
Logo, a resposta é 27.

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