Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções compostas:
z=\cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função composta z=\cos^{2}x usando a regra da cadeia. O que precisamos é reconhecer a estrutura “quadrado de algo” e aplicar a derivação em duas etapas (externa e interna).

Passo 2

Definimos a função externa e a interna:
A parte externa é
f(u)=u^{2},
onde u=\cos x.
A parte interna é
u(x)=\cos x.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos f(u) em relação a u, depois multiplicamos pela derivada de u(x) em relação a x.
\frac{dz}{dx} =\frac{d}{du}\bigl(u^{2}\bigr)\Big|_{u=\cos x}\;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr).
Agora calculamos cada derivada:
\frac{d}{du}(u^{2})=2u \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.
Substituindo u=\cos x, obtemos
\frac{dz}{dx} =2\,(\cos x)\,\bigl(-\sin x\bigr) =-2\cos x\,\sin x.

Passo 4

Para simplificar ainda mais, podemos usar a identidade trigonométrica \sin(2x)=2\sin x\cos x, obtendo
\frac{dz}{dx}=-\sin(2x).

Resposta

\frac{dz}{dx}=-2\cos x\,\sin x\quad\text{(ou}\;-\sin(2x)\text{).}

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