Usando a regra da cadeia determine a derivada das seguintes funções
y=ln (1+sen x1-sen x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = ln!l(1+sin x1-sin xr)
ou seja, precisamos usar a regra da cadeia (derivada de ln) e também a derivada de um quociente envolvendo sin x.

Passo 2

Defina
u(x) = 1+sin x1-sin x
Como y = lnl(u(x)r), a regra da cadeia dá
y' = u'(x)u(x)

Passo 3

Agora, para calcular u'(x) aplicamos a regra do quociente:
u'(x) = l(cos xr),(1-sin x);-;(1+sin x),(-cos x)(1-sin x)^2
No numerador temos
cos x,(1-sin x) + cos x,(1+sin x) = cos xl((1-sin x)+(1+sin x)r) = 2cos x
Logo
u'(x) = 2cos x(1-sin x)^2

Passo 4

Substituindo em y' = u'(x)/u(x) obtemos
y' = 2cos x(1-sin x)^2 1+sin x1-sin x = 2cos x;1-sin x(1-sin x)^2(1+sin x)/(1-sin x) = 2cos x(1-sin x)(1+sin x)
Como (1-sin x)(1+sin x)=1-sin^2x=cos^2x, segue
y' = 2cos xcos^2x = 2cos x = 2sec x

Resposta

dydx = 2sec x

Exercícios relacionados