Verifique o teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado para , é o triângulo de vértices e .
Passo 1
Então, o enunciado pede pra verificar o Teorema de Green calculando as duas integrais:
– a integral de linha sobre o contorno do triângulo com vértices ,
– a integral dupla no mesmo triângulo.
Aqui o conteúdo é o Teorema de Green e vamos precisar de derivadas parciais, integral dupla e parametrização das arestas do triângulo.
Passo 2
Pra usar o Teorema de Green, a gente lembra que
é o que vamos checar.
Passo 3
Primeiro, calcula as derivadas parciais de e .
Então
Passo 4
Agora montamos a integral dupla sobre o triângulo . Observando que para temos ,
Passo 5
Agora vamos à integral de linha ointC P,dx+Q,dy. Parametrizamos as três arestas:
e1: de (0,0) a (1,0): x=t, y=0, tin[0,1].
e2: de (1,0) a (1,1): x=1, y=t, tin[0,1].
e3: de (1,1) a (0,0): x=1-t, y=1-t, tin[0,1].
Passo 6
Agora cada trecho:
– Em e1, y=0, dx=dt, dy=0, mas P(x,0)=Q(x,0)=0, então a contribuição é 0.
– Em e2, x=1, dy=dt, dx=0, temos Q(1,t)=t^2, então