1. Verifique o teorema de Green, calculando as duas integrais do enunciado para P(x, y)=23(x y^3-x^2 y), Q(x, y)=x^2 y^2, D é o triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (1,1).

Passo 1

Então, o enunciado pede pra verificar o Teorema de Green calculando as duas integrais:
– a integral de linha ointC P,dx + Q,dy sobre o contorno do triângulo com vértices (0,0),(1,0),(1,1),
– a integral dupla integral duplaDl(partial Q/partial x-partial P/partial yr),dA no mesmo triângulo.
Aqui o conteúdo é o Teorema de Green e vamos precisar de derivadas parciais, integral dupla e parametrização das arestas do triângulo.

Passo 2

Pra usar o Teorema de Green, a gente lembra que
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA
é o que vamos checar.

Passo 3

Primeiro, calcula as derivadas parciais de
P(x,y)=tfrac23(xy^3 - x^2y) e Q(x,y)=x^2y^2.
partial Qpartial x = 2xy^2, partial Ppartial y = 23(3xy^2 - x^2) = 2xy^2 - 23x^2
Então
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 23x^2

Passo 4

Agora montamos a integral dupla sobre o triângulo D. Observando que para 0<= x<=1 temos 0<= y<= x,
integral duplaD 23x^2,dA = integralx=0^1 integraly=0^x 23x^2,dy,dx = integral0^1 23x^2 l[xr]y=0^x,dx = integral0^1 23x^3,dx = 23cdot x^44|0^1 = 16

Passo 5

Agora vamos à integral de linha ointC P,dx+Q,dy. Parametrizamos as três arestas:
  1. e1: de (0,0) a (1,0): x=t, y=0, tin[0,1].
  2. e2: de (1,0) a (1,1): x=1, y=t, tin[0,1].
  3. e3: de (1,1) a (0,0): x=1-t, y=1-t, tin[0,1].

Passo 6

Agora cada trecho:
– Em e1, y=0, dx=dt, dy=0, mas P(x,0)=Q(x,0)=0, então a contribuição é 0.
– Em e2, x=1, dy=dt, dx=0, temos Q(1,t)=t^2, então
integrale2P,dx+Q,dy=integral0^1 t^2,dt=tfrac13
– Em e3, dx=dy=-dt. Calcula-se
P(1-t,1-t)=-tfrac23t(1-t)^3, Q(1-t,1-t)=(1-t)^4,
e a integral vira
integrale3(P,dx+Q,dy)=-integral0^1[P+Q],dt =integral0^1l(tfrac23t(1-t)^3-(1-t)^4r)dt=-tfrac16

Passo 7

Somando tudo: 0 + tfrac13 + (-tfrac16)=tfrac16. Então a integral de linha dá 1/6, igual à integral dupla.

Resposta

As duas integrais dão 1/6, logo o Teorema de Green se verifica.

Exercícios relacionados