Determinar:
partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial x, partial^2 fpartial x^2, partial^3 fpartial z partial x partial x sabendo que f(x, y, z)=7 y^3 ln (4 x^2+y^2)-6 z^7 x^5 y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular derivadas parciais de várias ordens da função f(x,y,z)=7y^3ln(4x^2+y^2)-6z^7x^5y. Vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de logaritmo.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, tratamos cada termo separadamente:
  • No termo 7y^3ln(4x^2+y^2), y^3 é constante e a derivada de ln(4x^2+y^2) é 14x^2+y^2cdot8x. Então esse pedaço vira
7y^3cdot8x4x^2+y^2=56xy^34x^2+y^2
  • No termo -6z^7x^5y, z^7y é constante e a derivada de x^5 é 5x^4. Logo
-6z^7ycdot5x^4=-30z^7x^4y
Somando, temos
partial fpartial x=56xy^34x^2+y^2-30z^7x^4y

Passo 3

Para partial fpartial y, de novo cada termo:
  • Em 7y^3ln(4x^2+y^2) usamos produto: derivada de y^3 é 3y^2 e mantemos o log, mais y^3 vezes derivada do log que é 2y4x^2+y^2:
7l(3y^2ln(4x^2+y^2)+y^3cdot2y4x^2+y^2r)=21y^2ln(4x^2+y^2)+14y^44x^2+y^2
  • Em -6z^7x^5y), só tiramos derivada de y, que é 1, e o resto fica constante:
-6z^7x^5
Somando,
partial fpartial y=21y^2ln(4x^2+y^2)+14y^44x^2+y^2-6z^7x^5

Passo 4

Para partial fpartial z, só o segundo termo depende de z. A derivada de -6z^7x^5y em relação a z é
-6x^5ycdot7z^6=-42x^5yz^6

Passo 5

Agora partial^2 fpartial x^2 é a derivada de partial fpartial x=56xy^34x^2+y^2-30z^7x^4y em relação a x.
  • No primeiro termo usamos quociente. Sejam u=56y^3x e v=4x^2+y^2:
u'=56y^3, v'=8x,
e
ddxl(uvr)=u'v-u v'v^2 =56y^3(4x^2+y^2)-56y^3xcdot8x(4x^2+y^2)^2 =56y^3(y^2-4x^2)(4x^2+y^2)^2
  • No segundo termo -30z^7x^4y), derivando em x
-30z^7ycdot4x^3=-120z^7x^3y
Logo,
partial^2 fpartial x^2=56y^3(y^2-4x^2)(4x^2+y^2)^2-120z^7x^3y

Passo 6

Por fim, partial^3 fpartial zpartial xpartial x é só derivar essa partial^2 fpartial x^2 em relação a z. Só o termo -120z^7x^3y) depende de z, gerando
-120x^3ycdot7z^6=-840x^3yz^6

Resposta

partial fpartial x=56xy^34x^2+y^2-30z^7x^4y, partial fpartial y=21y^2ln(4x^2+y^2)+14y^44x^2+y^2-6z^7x^5, partial fpartial z=-42x^5yz^6,newline partial^2 fpartial x^2=56y^3(y^2-4x^2)(4x^2+y^2)^2-120z^7x^3y, partial^3 fpartial zpartial x^2=-840x^3yz^6

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