Determinar:
sabendo que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular derivadas parciais de várias ordens da função
. Vamos usar regra do produto, regra da cadeia e derivada de logaritmo.
Passo 2
Para achar
, tratamos cada termo separadamente:
- No termo
, é constante e a derivada de é . Então esse pedaço vira
- No termo
, é constante e a derivada de é . Logo
Somando, temos
Passo 3
Para
, de novo cada termo:
- Em
usamos produto: derivada de é e mantemos o log, mais vezes derivada do log que é :
- Em
, só tiramos derivada de , que é 1, e o resto fica constante:
Somando,
Passo 4
Para
, só o segundo termo depende de
. A derivada de
em relação a
é
Passo 5
Agora
é a derivada de
em relação a
.
- No primeiro termo usamos quociente. Sejam
e :
e
- No segundo termo
, derivando em dá
Logo,
Passo 6
Por fim,
é só derivar essa
em relação a
. Só o termo
depende de
, gerando