Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado. Dados fornecidos:
ponto indicado:
.
O que devemos usar: a superfície é dada por
com
. O plano tangente em
usa as derivadas parciais de
avaliadas em
e o valor
no ponto.
Passo 2
Fórmula do plano tangente (essa é a ferramenta principal; memorize!):
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
(ou seja, tratamos
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante). Essas derivadas dão as inclinações da superfície nas direções
e
, e a fórmula combina essas inclinações para obter o plano que “toca” a superfície no ponto.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro,
. Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Produto: se então
.
No nosso caso e
.
Produto: se
No nosso caso
-
. -
= derivada de em relação a . Pela regra da cadeia, .
Portanto,
Em forma limpa:
Agora,
. Aqui
é tratado como constante e aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
. Observe que
, então as funções trigonométricas serão avaliadas em
.
Calcule
:
Calcule
:
Também usamos
(o enunciado fornece o ponto
).
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com
,
,
,
e
.
Substituindo na fórmula:
Simplificando os sinais
e
:
Se quiser deixar na forma linear expandida, multiplicamos e agrupamos termos:
Ambas as formas representam o mesmo plano tangente; a primeira é mais direta para interpretação ponto-inclinação, a segunda mostra coeficientes lineares.