Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado.
z=x \operatorname{sen}(x+y) ; \quad(-1 ; 0 ; 1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície no ponto indicado. Dados fornecidos:
z = x\operatorname{sen}(x+y)
ponto indicado: (-1;0;1).
O que devemos usar: a superfície é dada por z=f(x,y) com f(x,y)=x\operatorname{sen}(x+y). O plano tangente em (x_0,y_0,z_0) usa as derivadas parciais de f avaliadas em (x_0,y_0) e o valor z_0 no ponto.

Passo 2

Fórmula do plano tangente (essa é a ferramenta principal; memorize!):
\text{o plano tangente em }(x_0,y_0,z_0)\text{ é}é
z = z_0 + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Explicando: f_x é a derivada parcial de f em relação a x (ou seja, tratamos y como constante) e f_y é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). Essas derivadas dão as inclinações da superfície nas direções x e y, e a fórmula combina essas inclinações para obter o plano que “toca” a superfície no ponto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x\operatorname{sen}(x+y).
Primeiro, f_x. Aqui usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Produto: se f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então f_x = u_x v + u v_x.
No nosso caso u(x,y)=x e v(x,y)=\operatorname{sen}(x+y).
  • u_x = 1.
  • v_x = derivada de \operatorname{sen}(x+y) em relação a x. Pela regra da cadeia, \dfrac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(x+y)=\cos(x+y)\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=\cos(x+y)\cdot 1=\cos(x+y).
Portanto,
f_x(x,y)=1\cdot \operatorname{sen}(x+y) + x\cdot \cos(x+y).
Em forma limpa:
f_x(x,y)=\operatorname{sen}(x+y) + x\cos(x+y).
Agora, f_y. Aqui x é tratado como constante e aplicamos a regra da cadeia:
f_y(x,y)=x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(x+y)=x\cdot \cos(x+y)\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x+y)=x\cos(x+y).

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(-1,0). Observe que x_0+y_0=-1, então as funções trigonométricas serão avaliadas em -1.
Calcule f_x(-1,0):
f_x(-1,0)=\operatorname{sen}(-1) + (-1)\cos(-1)=\operatorname{sen}(-1)-\cos(-1).
Calcule f_y(-1,0):
f_y(-1,0)=(-1)\cos(-1)=-\cos(-1).
Também usamos z_0=1 (o enunciado fornece o ponto (-1;0;1)).

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do plano tangente com x_0=-1, y_0=0, z_0=1, f_x(-1,0)=\operatorname{sen}(-1)-\cos(-1) e f_y(-1,0)=-\cos(-1).
Substituindo na fórmula:
z = 1 + \big(\operatorname{sen}(-1)-\cos(-1)\big)(x-(-1)) + \big(-\cos(-1)\big)(y-0).
Simplificando os sinais x-(-1)=x+1 e y-0=y:
z = 1 + \big(\operatorname{sen}(-1)-\cos(-1)\big)(x+1) - \cos(-1)\,y.
Se quiser deixar na forma linear expandida, multiplicamos e agrupamos termos:
z = \big(\operatorname{sen}(-1)-\cos(-1)\big)x - \cos(-1)\,y + \big(1 + \operatorname{sen}(-1)-\cos(-1)\big).
Ambas as formas representam o mesmo plano tangente; a primeira é mais direta para interpretação ponto-inclinação, a segunda mostra coeficientes lineares.

Resposta

z = 1 + \big(\operatorname{sen}(-1)-\cos(-1)\big)(x+1) - \cos(-1)\,y

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