Verifique se a função
é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pede para verificar se
é diferenciável em
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada explicitamente por
. - O domínio considerado é todo
. - A pergunta é única: verificar (sim/não) se
é diferenciável em todo .
Passo 2
Primeiro: o que significa “diferenciável” em
? Vou escrever a definição precisa e explicar com calma.
Definição (ponto
fixo). A função
é diferenciável em
se existir uma aplicação linear
tal que, escrevendo
e
,
Em palavras:
é bem aproximada por
quando
é pequeno, e o erro é muito menor que
.
Observação prática: quando
é diferenciável, a aplicação linear
é dada por
ou seja,
. A matriz jacobiana (no caso função real) é o vetor linha
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(isso é um passo mecânico que vamos detalhar):
-
Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar . Explicação curta: a derivada deem relação a é ; o termo é constante quando derivamos em . -
Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar . Mesma ideia.
Portanto o gradiente (ou jacobiano linha) em um ponto
é
Passo 4
Existe um teorema útil (vou explicá-lo em palavras simples): se as derivadas parciais de
existem num entorno de um ponto e são contínuas nesse ponto, então
é diferenciável nesse ponto. Em linguagem menos formal: derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade.
Agora verificar a hipótese para o nosso caso:
e
são polinômios em
e
. Polinômios são funções contínuas em todo
. Logo as derivadas parciais existem e são contínuas em todo
. Pelo teorema, concluímos que
é diferenciável em todo
.
Vou deixar essa conclusão clara e amigável: como as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos,
tem aproximação linear em qualquer ponto
— portanto é diferenciável em
.
Passo 5
Para reforçar (e te mostrar uma prova construtiva, útil para prova): façamos a demonstração direta em um ponto arbitrário
, expandindo explicitamente e verificando a condição da definição.
Considere
pequeno e calcule
Expandindo:
Subtraindo
, obtemos
Identificamos a parte linear em
como
que é exatamente
. O resto (erro) é
Passo 6
Agora mostramos que o resto é pequeno em relação a
. Defina
. Observação:
e
.
Estimativa do módulo do resto:
Usando
e
, obtemos
Então, dividindo pelo valor de referência
,
Quando
, tem-se
, portanto o lado direito tende a
. Logo
Isso mostra diretamente que
logo
é diferenciável em
. Como
foi arbitrário,
é diferenciável em todo
.
Passo 7
Resumo final do que aprendemos (rápido e motivador):
- As derivadas parciais são
e . - Essas derivadas são contínuas em todo
, então é diferenciável em todo (teorema padrão). - A prova direta por expansão mostra explicitamente a aproximação linear e controla o erro: ou seja, dá uma prova construtiva que também é útil em prova de exame.