Verifique se a função
f(x, y)=x^{3}+y^{3}
é diferenciável em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+y^{3}
definida em \mathbb{R}^{2} e pede para verificar se f é diferenciável em \mathbb{R}^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada explicitamente por f(x,y)=x^{3}+y^{3}.
  • O domínio considerado é todo \mathbb{R}^{2}.
  • A pergunta é única: verificar (sim/não) se f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Primeiro: o que significa “diferenciável” em \mathbb{R}^{2}? Vou escrever a definição precisa e explicar com calma.
Definição (ponto (a,b) fixo). A função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em (a,b) se existir uma aplicação linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que, escrevendo h=(h,k) e \lVert h\rVert=\sqrt{h^{2}+k^{2}},
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)}{\lVert(h,k)\rVert}=0.
Em palavras: f(a+h,b+k) é bem aproximada por f(a,b)+L(h,k) quando (h,k) é pequeno, e o erro é muito menor que \lVert(h,k)\rVert.
Observação prática: quando f é diferenciável, a aplicação linear L é dada por
L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,h+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,k,
ou seja, L(h,k)=\nabla f(a,b)\cdot(h,k). A matriz jacobiana (no caso função real) é o vetor linha \big(\tfrac{\partial f}{\partial x}(a,b),\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\big).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (isso é um passo mecânico que vamos detalhar):
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar x^{3}.
    \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}.
    Explicação curta: a derivada de x^{3} em relação a x é 3x^{2}; o termo y^{3} é constante quando derivamos em x.
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante e derivar y^{3}.
    \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^{2}.
    Mesma ideia.
Portanto o gradiente (ou jacobiano linha) em um ponto (x,y) é
\nabla f(x,y)=\big(3x^{2},\,3y^{2}\big).

Passo 4

Existe um teorema útil (vou explicá-lo em palavras simples): se as derivadas parciais de f existem num entorno de um ponto e são contínuas nesse ponto, então f é diferenciável nesse ponto. Em linguagem menos formal: derivadas parciais contínuas implicam diferenciabilidade.
Agora verificar a hipótese para o nosso caso: \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2} e \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^{2} são polinômios em x e y. Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Logo as derivadas parciais existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Pelo teorema, concluímos que f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.
Vou deixar essa conclusão clara e amigável: como as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos, f tem aproximação linear em qualquer ponto (a,b) — portanto é diferenciável em \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Para reforçar (e te mostrar uma prova construtiva, útil para prova): façamos a demonstração direta em um ponto arbitrário (a,b), expandindo explicitamente e verificando a condição da definição.
Considere (h,k) pequeno e calcule
f(a+h,b+k)-f(a,b).
Expandindo:
f(a+h,b+k)=(a+h)^{3}+(b+k)^{3}=a^{3}+3a^{2}h+3a h^{2}+h^{3}+b^{3}+3b^{2}k+3b k^{2}+k^{3}.
Subtraindo f(a,b)=a^{3}+b^{3}, obtemos
f(a+h,b+k)-f(a,b)=3a^{2}h+3b^{2}k+\big(3a h^{2}+h^{3}+3b k^{2}+k^{3}\big).
Identificamos a parte linear em (h,k) como
L(h,k)=3a^{2}h+3b^{2}k,
que é exatamente \nabla f(a,b)\cdot(h,k). O resto (erro) é
R(h,k)=3a h^{2}+h^{3}+3b k^{2}+k^{3}.

Passo 6

Agora mostramos que o resto é pequeno em relação a \lVert(h,k)\rVert. Defina r=\lVert(h,k)\rVert=\sqrt{h^{2}+k^{2}}. Observação: |h|\le r e |k|\le r.
Estimativa do módulo do resto:
|R(h,k)|\le 3|a|\,|h|^{2}+|h|^{3}+3|b|\,|k|^{2}+|k|^{3}.
Usando |h|\le r e |k|\le r, obtemos
|R(h,k)|\le 3|a|\,r^{2}+r^{3}+3|b|\,r^{2}+r^{3}=(3(|a|+|b|))r^{2}+2r^{3}.
Então, dividindo pelo valor de referência r,
\frac{|R(h,k)|}{r}\le 3(|a|+|b|)\,r+2r^{2}.
Quando (h,k)\to(0,0), tem-se r\to0, portanto o lado direito tende a 0. Logo
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\lVert(h,k)\rVert}=0.
Isso mostra diretamente que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)}{\lVert(h,k)\rVert}=0,
logo f é diferenciável em (a,b). Como (a,b) foi arbitrário, f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 7

Resumo final do que aprendemos (rápido e motivador):
  • As derivadas parciais são \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2} e \frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}.
  • Essas derivadas são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}, então f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2} (teorema padrão).
  • A prova direta por expansão mostra explicitamente a aproximação linear e controla o erro: ou seja, dá uma prova construtiva que também é útil em prova de exame.

Resposta

f é diferenciável em \mathbb{R}^{2}.

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