Calcule o vetor gradiente da função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular o vetor gradiente dessa função no ponto
. As informações relevantes são:
- A expressão da função:
. - O ponto onde avaliar o gradiente:
. - O que se pede: encontrar
.
Passo 2
Definição e ideia do gradiente (passo-a-passo didático).
O vetor gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
O vetor gradiente de uma função de duas variáveis
Intuição: cada componente mede a taxa de variação de
na direção de aumentar somente uma das coordenadas — a primeira componente mede como
muda se só
varia (mantendo
fixo), a segunda mede como
muda se só
varia (mantendo
fixo). Na prova, para calcular o gradiente basta derivar parcialmente em relação a
e a
e depois avaliar no ponto pedido.
Passo 3
Cálculo da derivada parcial em relação a
.
Trata como constante e derive termo a termo:
Trata
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (porque é constante). - Derivada de
em relação a é (produto com constante).
Portanto,
Passo 4
Cálculo da derivada parcial em relação a
.
Trata como constante e derive termo a termo:
Trata
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto,
Passo 5
Avaliação das derivadas no ponto
.
Substituir e
nas expressões obtidas:
Substituir
Passo 6
Montagem do vetor gradiente no ponto e interpretação curta.
Juntando as componentes:
Juntando as componentes:
Interpretação rápida: no ponto
a função não varia (até primeira ordem) se só
muda, e aumenta com taxa
se só
aumenta. A magnitude do gradiente é
, indicando a taxa máxima de crescimento de
naquele ponto.