Calcule o vetor gradiente da função
f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}-x y
no ponto \mathrm{P}(1,2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-xy
e pede para calcular o vetor gradiente dessa função no ponto \mathrm{P}(1,2). As informações relevantes são:
  • A expressão da função: f(x,y)=x^{2}+2y^{2}-xy.
  • O ponto onde avaliar o gradiente: \mathrm{P}=(1,2).
  • O que se pede: encontrar \nabla f(1,2).

Passo 2

Definição e ideia do gradiente (passo-a-passo didático).
O vetor gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Intuição: cada componente mede a taxa de variação de f na direção de aumentar somente uma das coordenadas — a primeira componente mede como f muda se só x varia (mantendo y fixo), a segunda mede como f muda se só y varia (mantendo x fixo). Na prova, para calcular o gradiente basta derivar parcialmente em relação a x e a y e depois avaliar no ponto pedido.

Passo 3

Cálculo da derivada parcial em relação a x.
Trata y como constante e derive termo a termo:
  • Derivada de x^{2} em relação a x é 2x.
  • Derivada de 2y^{2} em relação a x é 0 (porque y é constante).
  • Derivada de -xy em relação a x é -y (produto com y constante).
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x-y.

Passo 4

Cálculo da derivada parcial em relação a y.
Trata x como constante e derive termo a termo:
  • Derivada de x^{2} em relação a y é 0.
  • Derivada de 2y^{2} em relação a y é 4y.
  • Derivada de -xy em relação a y é -x.
    Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4y-x.

Passo 5

Avaliação das derivadas no ponto \mathrm{P}(1,2).
Substituir x=1 e y=2 nas expressões obtidas:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot 1 - 2 = 2-2 = 0,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=4\cdot 2 - 1 = 8-1 = 7.

Passo 6

Montagem do vetor gradiente no ponto e interpretação curta.
Juntando as componentes:
\nabla f(1,2)=\big(0,\;7\big).
Interpretação rápida: no ponto (1,2) a função não varia (até primeira ordem) se só x muda, e aumenta com taxa 7 se só y aumenta. A magnitude do gradiente é \sqrt{0^{2}+7^{2}}=7, indicando a taxa máxima de crescimento de f naquele ponto.

Resposta

\nabla f(1,2)=(0,7)

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