Usando a Regra da Cadeia, encontre as derivadas parciais da função
w=x+2 y+z^2, x=rs cdot y=r^2+1s s, z=2 r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ w = x + 2y + z^2 $ onde $ x $, $ y $ e $ z $ também dependem de outras variáveis, $ r $ e $ s $. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ r $ e $ s $ usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como $ w $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, e como esses, por sua vez, dependem de $ r $ e $ s $.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as relações dadas:
x = rs cdot y y = r^2 + 1s cdot s z = 2r
Vamos simplificar a expressão para $ y $:
y
Então, temos:
y = r^2 + 1s cdot s = r^2 + 1
E $ z = 2r $.

Passo 3

Agora, vamos expressar $ w $ em termos de $ r $ e $ s $:
w
Simplificando $ w $:
r

Passo 4

Para encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ r $ e $ s $, vamos derivar $ w $ em relação a cada uma dessas variáveis, mantendo a outra constante.
Primeiro, vamos derivar $ w $ em relação a $ r $:
w

Passo 5

Calculando cada termo:
  1. Para $ \frac{r(r^2 + 1)}{s} $:
Usamos a regra do produto:
r(r^2 + 1)s
  1. Para $ 2(r^2 + 1) $:
partialpartial r ( r(r^2 + 1)s ) = (1)(r^2 + 1) + r(2r)s = r^2 + 1 + 2r^2s = 3r^2 + 1s
  1. Para $ 4r^2 $:
2(r^2 + 1)

Passo 6

Somando todos os termos:
partial wpartial r = 3r^2 + 1s + 4r + 8r = 3r^2 + 1s + 12r

Passo 7

Agora, vamos derivar $ w $ em relação a $ s $:
w

Passo 8

Calculando cada termo:
  1. Para $ \frac{r(r^2 + 1)}{s} $:
Usamos a regra da derivada de $ \frac{u}{v} $ onde $ u = r(r^2 + 1) $ e $ v = s $. Então:
r(r^2 + 1)s
  1. Para $ 2(r^2 + 1) $:
Como não há $ s $ nessa expressão:
uv
  1. Para $ 4r^2 $:
Também não há $ s $ nessa expressão:
u = r(r^2 + 1)

Passo 9

Somando todos os termos:
partial wpartial s = -r(r^2 + 1)s^2 + 0 + 0 = -r(r^2 + 1)s^2

Resposta

As derivadas parciais da função $ w $ são:
w
e
partial wpartial r = 3r^2 + 1s + 12r

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