Usando a Regra da Cadeia, encontre as derivadas parciais da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ w = x + 2y + z^2 $ onde $ x $, $ y $ e $ z $ também dependem de outras variáveis, $ r $ e $ s $. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ r $ e $ s $ usando a Regra da Cadeia. Para isso, vamos precisar entender como $ w $ depende de $ x $, $ y $ e $ z $, e como esses, por sua vez, dependem de $ r $ e $ s $.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as relações dadas:
Vamos simplificar a expressão para $ y $:
Então, temos:
E $ z = 2r $.
Passo 3
Agora, vamos expressar $ w $ em termos de $ r $ e $ s $:
Simplificando $ w $:
Passo 4
Para encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ r $ e $ s $, vamos derivar $ w $ em relação a cada uma dessas variáveis, mantendo a outra constante.
Primeiro, vamos derivar $ w $ em relação a $ r $:
Passo 5
Calculando cada termo:
- Para $ \frac{r(r^2 + 1)}{s} $:
Usamos a regra do produto:
- Para $ 2(r^2 + 1) $:
- Para $ 4r^2 $:
Passo 6
Somando todos os termos:
Passo 7
Agora, vamos derivar $ w $ em relação a $ s $:
Passo 8
Calculando cada termo:
- Para $ \frac{r(r^2 + 1)}{s} $:
Usamos a regra da derivada de $ \frac{u}{v} $ onde $ u = r(r^2 + 1) $ e $ v = s $. Então:
- Para $ 2(r^2 + 1) $:
Como não há $ s $ nessa expressão:
- Para $ 4r^2 $:
Também não há $ s $ nessa expressão:
Passo 9
Somando todos os termos:
Resposta
As derivadas parciais da função $ w $ são:
e