Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equaçōes dados.
Passo 1
Temos um sistema de EDOs lineares não-homogêneas de 1º ordem:
, onde
A matriz de coeficientes é
A matriz de coeficientes é
e o termo não-homogêneo é
Passo 2
Vamos resolver no esquema: 1) resolução homogênea via autovalores/autovetores; 2) particular por método dos coeficientes a determinar; 3) soma das soluções.
Começamos pela parte homogênea . Calculamos o polinômio característico:
Começamos pela parte homogênea
Passo 3
Assim os autovalores são
e
.
Passo 4
Para
, resolvemos
:
Passo 5
Para
, resolvemos
:
Passo 6
Logo, a solução homogênea geral é
Passo 7
Para a parte particular, usamos ansatz do tipo
Passo 8
onde
e
são vetores constantes. Calculamos
Passo 9
Reagrupando termos em
, obtemos
Passo 10
Aqui
Passo 11
Logo
Passo 12
Reagrupando termos em
, impomos
Passo 13
Resolvendo
Passo 14
Portanto
Passo 15
A solução particular é
Passo 16
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma: