Nos problemas de 1 a 12, encontre a solução geral do sistema de equaçōes dados.
x^prime=(cc1 & raiz3 raiz3 & -1) x+binome^traiz3 e^-t

Passo 1

Temos um sistema de EDOs lineares não-homogêneas de 1º ordem: x'=Ax+b(t), onde
A matriz de coeficientes é
A=1 & raiz3[6pt] raiz3 & -1,
e o termo não-homogêneo é
b(t)=e^t[4pt]raiz3,e^-t

Passo 2

Vamos resolver no esquema: 1) resolução homogênea via autovalores/autovetores; 2) particular por método dos coeficientes a determinar; 3) soma das soluções.
Começamos pela parte homogênea x'=Ax. Calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=det1-lambda & raiz3[4pt]raiz3 & -1-lambda=(1-lambda)(-1-lambda)-3=lambda^2-4=0

Passo 3

Assim os autovalores são lambda1=2 e lambda2=-2.

Passo 4

Para lambda1=2, resolvemos (A-2I)v=0:
-1 & raiz3[4pt]raiz3 & -3v1[2pt]v2=0 Rightarrow -v1+raiz3v2=0 Rightarrow v^(1)=raiz3[2pt]1

Passo 5

Para lambda2=-2, resolvemos (A+2I)v=0:
3 & raiz3[4pt]raiz3 & 1v1[2pt]v2=0 Rightarrow 3v1+raiz3v2=0 Rightarrow v^(2)=-1[2pt]raiz3

Passo 6

Logo, a solução homogênea geral é
xh(t)=C1e^2traiz3[2pt]1+C2e^-2t-1[2pt]raiz3

Passo 7

Para a parte particular, usamos ansatz do tipo
xp(t)=Ue^t+Ve^-t,

Passo 8

onde U=(u1,u2)^T e V=(v1,v2)^T são vetores constantes. Calculamos
xp'=Ue^t - Ve^-t, e impomos
xp'=Axp+b(t)

Passo 9

Reagrupando termos em e^t, obtemos
(I-A)U=1[2pt]0

Passo 10

Aqui
I-A=0 & -raiz3[4pt]-raiz3 & 2, e resolvendo
0 & -raiz3[4pt]-raiz3 & 2u1[2pt]u2=1[2pt]0 vem
u2=-tfrac1raiz3, u1=-tfrac23

Passo 11

Logo
U=-tfrac23[2pt]-tfrac1raiz3

Passo 12

Reagrupando termos em e^-t, impomos
(-I-A)V=0[2pt]raiz3, com
-I-A=-2 & -raiz3[4pt]-raiz3 & 0

Passo 13

Resolvendo
-2 & -raiz3[4pt]-raiz3 & 0v1[2pt]v2=0[2pt]raiz3 obtemos
v1=-1, v2=tfrac2raiz3

Passo 14

Portanto
V=-1[2pt]tfrac2raiz3

Passo 15

A solução particular é
xp(t)=Ue^t+Ve^-t=-tfrac23e^t - e^-t[4pt]-tfrac1raiz3e^t+tfrac2raiz3e^-t

Passo 16

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma:
x(t)=xh(t)+xp(t)

Resposta

x(t)=C1e^2traiz31+C2e^-2t-1raiz3+-tfrac23e^t - e^-t[4pt]-tfrac1raiz3e^t+tfrac2raiz3e^-t, onde C1,C2 são constantes arbitrárias.

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